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| ipotesi e realtà nelle scienze geometriche | 23 |
formidabili. Mi basterà soltanto di rilevare come la trattazione matematica di Lotze s’apra con una petizione di principio. Egli comincia con questa definizione:1
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Due rette diconsi parallele, quando, preso sull’una un segmento AB e sull’altra un segmento uguale A’B’, i due segmenti AA’, BB’ risultano uguali. E così fa a meno del postulato delle parallele.
Ma il più modesto matematico s’accorge, senza grande sforzo, cbe il postulato è incluso nella definizione stessa, la quale richiede appunto l’esistenza di due linee che soddisfino a quella certa proprietà.
L’errore di Lotze coincide sostanzialmente con quello che quindici secoli prima, in un’epoca di ben diverso sviluppo del pensiero scientifico, era stato commesso da Aganis. Il quale definiva come parallele due rette equidistanti e da ciò traeva la dimostrazione del postulato euclideo.
Un circolo vizioso anche questo, perchè l’ipotesi, implicitamente racchiusa nella definizione, che cioè sul piano il luogo dei punti equidistanti da una retta sia ancora una retta, equivale al postulato che Aganis si proponeva di dimostrare.
Nè più ne meno.
⁂
Il concetto della relatività dello spazio è stato spinto dal Poincaré sino ad un punto, che sembra veramente eccessivo.
Secondo quest’illustre matematico, gli assiomi geometrici non sono nè giudizi sintetici a priori, nè espressioni di fatti sperimentali; si tratta soltanto di convenzioni. L’esperienza ci serve come guida per sceglierle tra le mille possibili; ma la libertà di scelta è solo limitata dalla necessità di rispettare il principio di contraddizione. Una geometria non è più vera di un’altra: essa è solamente più comoda.2
Ora io non posso entrare in una critica dettagliata delle idee del Poincaré: altri matematici del resto l’hanno già fatta — il mio amico Enriques tra essi — e meglio di quanto io non potrei e non saprei. Mi basterà di considerare per
