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| ipotesi e realtà nelle scienze geometriche | 17 |
La geometria non euclidea di Lobacefski, come ha dimostrato il nostro Beltrami, si realizza invece sulla pseudosfera.1
Queste rappresentazioni provano a priori la compatibilità dei postulati A colle ipotesi non euclidee. Non può infatti esistere un modello concreto di ciò che è assurdo!2
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Accennando poco fa alla ricerche di Gauss e Lobacefski sui triangoli geodetici ed astronomici, dicevo che allo stato attuale delle nostre esperienze, lo spazio deve ritenersi positivamente euclideo. Ma ciò non esclude che, ampliando il campo delle nostre osservazioni, mediante istrumenti più precisi e più potenti, si possa giungere a contraddire al postulato delle parallele.
Questa possibilità è chiarita da un’imagine che da Helmholtz e da Clifford in poi si rievoca assai di frequente.
Figuriamoci una sfera abitata da animaletti superficiali, intelligenti fino al punto da costruire una geometria rispecchiante le loro sensazioni. Per essi lo spazio sarà a due dimensioni; il minimo percorso tra due punti non sarà più la nostra retta, ma un arco di circolo massimo della sfera ambiente.
Se questi animaletti, data la ristrettezza dei loro mezzi di locomozione e degli apparecchi d’osservazione, non possono esplorare ed osservare che una regione molto piccola del loro ambiente, nei triangoli sferici che sono alla loro portata, la somma dei tre angoli sarà bensì maggiore di due retti, ma la differenza essendo proporzionale all’area dei triangoli, risulterà inapprezzabile di fronte agli errori strumentali.
Suppongo che nel loro linguaggio questi compiacenti animaletti continuino a chiamar rette i cammini di minimo percorso: la loro geometria viene allora a coincidere esattamente, anche nell’espressione verbale, colla geometria piana euclidea.
- ↑ Beltrami, Saggio di interpretazione della geometria non euclidea, «Giornale di matematiche», Napoli, 1868, t. VI; pp. 284-312.
- ↑ Veramente, date le considerazioni del testo, sarebbe lecito concludere soltanto in relazione alla geometria a due dimensioni e per regioni superficiali limitate. La dimostrazione completa, cui qui non era affatto il caso d’accennare, deriva, nel modo più spedito, dalle cosidette metriche-proiettive di Cayley-Klein.
