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| 16 | “scientia„ |
E quindi ogni teorema di geometria piana si muta in un teorema di geometria sul cilindro. Le rette vengono sostituite dalle geodetiche, l’angolo di due rette dall’angolo di due geodetiche e così via.
Si noti per di più che il cilindro, come il piano, è liberamente applicabile su se stesso, nel senso che il solito pezzo di stoffa io lo posso adagiare dovunque sul cilindro, come sul piano. Si ha quindi anche sopra il cilindro il concetto di figure congruenti o uguali. Ma si badi che due tali figure non sono necessariamente uguali nell’ordinario senso della parola, perchè nel passare dall’una all’altra con uno scorrimento sulla superficie cilindrica, non si è supposta la rigidità, ma soltanto l’invarianza delle lunghezze, quale appunto si verifica in un pezzo di stoffa non elastica.
La geometria sul cilindro ci dà in conclusione, un’immagine completa dell’ordinaria geometria piana. Si può cercare similmente se, sopra convenienti superfìcie, possa ottenersi un’imagine concreta di ciascuna delle geometrie piane non euclidee, considerando sempre, in luogo delle rette, le geodetiche.
La geometria sopra questi modelli dovrà godere di tutte le proprietà espresse dai postulati A, che restano validi anche nel campo non euclideo. In particolare dovranno restare validi gli assiomi della congruenza, che si traducono, in ultima analisi, nella condizione di libera applicabilità della superficie su se stessa.
Le superficie che godono di questa proprietà, diconsi a curvatura costante. Mediante le solite trasformazioni senza estensione, esse riduconsi a tre tipi distinti:
1.°) Superficie a curvatura nulla: il loro tipo è il piano (o il cilindro).
2.°) Superficie a curvatura costante positiva: il loro tipo è la sfera.
3.°) Superficie a curvatura costante negativa: il loro tipo è la pseudosfera.
Ebbene la geometria non euclidea di Riemann si realizza sulla sfera. Quivi le geodetiche sono i circoli massimi ed il noto teorema che la somma degli angoli d’un triangolo sferico è maggiore di due retti, non è che la traduzione del teorema analogo, valido pei triangoli rettilinei, nella geometria riemanniana.
