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| 14 | “scientia„ |
sono non secanti rispetto a questa. La geometria fondata su tale ipotesi va sotto il nome di Lobacefski.
b) Per un punto non si può condurre nessuna parallela ad una retta. La geometria corrispondente dicesi di Riemann.
Il risultato fondamentale, che la scienza ha ormai acquistato in modo definitivo, è che queste due ipotesi posson coesistere senza contraddizioni coi postulati A. Il che significa insomma che l’ipotesi euclidea non consegue logicamente da essi: ed in tal senso il postulato d’Euclide è indimostrabile.
Come si giunge a questa conclusione? Schopenhauer se la sbrigherebbe presto, giacchè secondo lui era chiaro che si sarebbe ricercato invano una dimostrazione del postulato d’Euclide, dal momento che non c’è nulla di più evidente. Ma noi vogliamo considerare la cosa un po’ più sul serio.
L’impeccabilità logica dei sistemi non euclidei si stabilisce a priori, mostrando come si possano effettivamente costruire dei continui a tre dimensioni, soddisfacenti a tutti i postulati A ed all’una o all’altra delle ipotesi non euclidee.
Darò tosto un’idea di questo genere di considerazioni. Prima una breve parentesi.
Noi attribuiamo allo spazio la proprietà d’essere infinito. Ora questa proprietà non può essere un dato sperimentale, giacchè i nostri mezzi d’osservazione non si esercitano che sul finito. Ma tuttavia quest’ipotesi ha un valore positivo: vuol dire insomma che l’ordine di grandezza dell’universo astronomico, non è praticamente paragonabile colle dimensioni che cadono di consueto sotto il nostro dominio.
Quel che invece ci apparisce con Riemann come un dato empirico, è la proprietà dello spazio di essere illimitato.1
La distinzione tra infinito e illimitato nel linguaggio comune non è ben netta. Ma a chiarirla basta un esempio. La sfera è una superfìcie finita ma illimitata; mentre il cerchio è una superficie finita e limitata: il limite o contorno essendo costituito dalla circonferenza.
L’ipotesi dell’infinità dello spazio, una volta accolta, conduce ad escludere senz’altro la geometria di Riemann, la quale vale bensì in uno spazio illimitato, ma finito.
- ↑ Riemann, loc. cit. parte III, § 2.
