 |
Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta. | |
| ipotesi e realtà nelle scienze geometriche | 7 |
si parla di sensazioni successive, di sensazioni inserite tra due altre, ecc. Mediante la stessa nozione si può completare il concetto del continuo, com’è stato fatto da Dedekind in poi.
Se da un continuo — per es. di sensazioni, che si assumono in tal caso come elementi — s’imagina tolto un elemento, il continuo resta diviso in due parti, costituite l’una da tutti gli elementi che, in un certo ordine, precedono quello che si è tolto, e l’altra da tutti quelli che lo seguono. Orbene, nel concetto del continuo matematico resta incluso che ogni divisione in due parti non possa ottenersi che così.
In sostanza quest’ulteriore attributo rispecchia il fatto banale che per dividere un filo in due parti bisogna tagliarlo in un punto.
Il continuo, cui mi son finora riferito, dicesi ad una dimensione.
È ora facile passare alla definizione del continuo a più dimensioni.
Prendo un foglio di carta. Cosa voglio dire quando affermo che è tutto di un pezzo? Niente altro che questo: due punti qualunque del foglio possono sempre esser congiunti da una linea su di esso tracciata. Questa proprietà noi matematici la esprimiamo dicendo che il foglio è connesso.
Per dividere in due pezzi il foglio di carta bisogna ch’io lo tagli lungo una linea. In generale un insieme connesso, che sia divisibile in parti tra loro sconnesse, mediante l’esclusione degli elementi d’uno o più continui ad una dimensione (tagli ad una dimensione) si dice un continuo a due dimensioni.
E similmente, se per dividere in parti un insieme connesso occorre escludere da esso uno o più continui a due dimensioni (tagli a due dimensioni), si dirà che quello è un continuo a tre dimensioni.
Il continuo a quattro dimensioni si definisce ormai come quello la cui connessione vien rotta da tagli a tre dimensioni; e così di seguito.
Queste considerazioni appartengono all’Analysis situs, che trae origine dalle immortali ricerche di Riemann. È però bene aggiungere che il Riemann nel suo celebre scritto sulle ipotesi fondamentali della geometria1, riattacca il concetto di
- ↑ Riemann, Ueber die Hypothesen welche der Geometrie su Grunde liegen (Göttingen,1867); Oeuvres mathématiques, p. 280; Gauthier-Villars, Paris, 1898.
