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i numeri e l’infinito

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Si ha così una serie

$S=1,2,3\ldots ,\omega ,\omega +1,\omega +2\ldots ,2\omega ,2\omega +1\ldots \ldots$

che si può immaginare indefinitamente proseguita.

Il simbolo $\omega$ che designa il primo elemento della serie, successivo dei numeri naturali (finiti) si può considerare come il più piccolo numero ordinale infinito (trasfinito). Ne nella serie vi è un elemento successivo ad

$\omega ,2\omega ,3\omega \ldots$

questo si può designare con $\omega ^{2}$. Si comprende quindi la possi bilità che la serie contenga anche elementi

$\omega ^{3},\omega ^{4}\ldots \omega ^{\omega }$ ecc.

La serie dei numeri transfiniti qui considerati, trova una immagine geometrica in una serie di punti che si costruisca opportunamente sopra la retta in guisa che: $\omega$ corrisponda ad un punto limite della serie $1,2,3\ldots$, $2\omega$ ad un punto limite della serie $\omega +1,\omega +2\ldots$; $\omega ^{2}$ ad uno punto limite della serie $\omega ,2\omega ,3\omega \ldots$ ecc.

Nota. - Quando la serie dei numeri transfiniti è comunque prolungata mediante una costruzione mentale, dipendente da un numero finito di convenzioni, immaginando un suecessivo $\omega ^{\omega }$ dopo $\omega ,\omega ^{2},\omega ^{3}\ldots$, e quindi un successivo dopo $\omega ^{\omega },\omega ^{2\omega },\omega ^{3\omega }\ldots$ ecc., si cade sempre in classi mumerabili.

Si può anche dimostrare che ogni serie ben ordinata di punti susseguentisi sopra la retta (a cui conduce l’immagine geometrica dei trasfiniti definita innanzi) è numerabile.

Nasce ora la questione se sia possibile disporre i punti di un continuo (p. es. d’un segmento) in una serie bene ordinata, di guisa che il numero cardinale che designa la potenza del continuo, si presenti come un numero della serie dei transfiniti. Tale questione, proposta da Cantor, ha dato luogo a numerosi tentativi, i quali però debbono ritenersi tutti come infruttuosi, perchè le pretese dimostrazioni conducenti a bene ordinare il continuo suppongono la possibilità di compiere effettivamente col pensiero infinite operazioni di scelta, (non predeterminate da qualche criterio esterno) cioè sono affette dal vizio del trascendentalismo.

Perciò nello stato attuale della questione rimane dubbio se il continuo possa essere bene ordinato. Perchè tale buon ordi-