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22 | “scientia„ |
Ma si ha ancora una proprietà caratteristica delle serie infinite che possono porsi in corrispondenza ordinata colla serie dei pensieri e quindi colla serie dei numeri naturali
Invero si consideri una serie infinita, bene ordinata, , il cui termine generale, ordinatamente corrispondente al numero della serie si possa designare con .
Osserviamo che essendo data una relazione
tutti i numeri che la verificano (supposto che ce ne sia qualcuno) formano una classe. Quindi si può enunciare il principio d’induzione come segue:
Se una classe C contiene il primo elemento () della data serie S, e se dall’ipotesi che essa contenga un qualsiasi elemento () di S, si deduce che contiene ancora il suo successivo immediato (), la classe C contiene tutti gli elementi di S (Peano).
Questo principio appunto distingue la serie dei numeri (o quelle che sono con essa in corrispondenza ordinata) da altre possibili serie bene ordinate come p. es. la seguente:
Infatti è chiaro che una serie bene ordinata per cui valga il postulato di Peano, si può porre in corrispondenza biunivoca ordinata colla serie dei numeri naturali
Ora la considerazione di serie bene ordinate non soddisfacenti al postulato di Peano, conduce sud estendere il concetto ordinario dei numeri ordinali, considerando numeri ordinali infiniti: tali sono i numeri transfiniti di G. Cantor.
Si abbia una serie bene ordinata, , che non soddisfi al postulato di Peano; allora vi sono in essa degli elementi successivi a quelli che portano un qualsiasi numero d’ordine per quanto grande; la serie di tali elementi, , (successivi alla serie ) è una parte di , e perciò possiede un primo elemento ; il successivo di si può designare con e così via.