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i numeri e l’infinito

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e se dall’essere verificata per $x=n$, si deduce ch’essa sussiste per $x=n+1$, allora la relazione sussiste in generale per tutti i valori di $x=1,2,3\ldots n\ldots$; in simboli

se	$R(1)=0,$
e da	$R(n)=0$
si deduce	$R(n+1)=0$,
si ha	$R(m)=0,$

($m$ designando un numero comunque grande).

Il principio qui enunciato è conosciuto sotto il nome di principio d’induzione matematica; ed il suo riconoscimento come principio logico risale a Maurolico.

Noi abbiamo già fatto uso ripetutamente del pensiero di induzione nel § 1, ammettendo la possibilità di esaurire nel pensiero una classe di oggetti materialmente dati, col toglierne successivamente un elemento dopo l’altro. In questa maniera il principio d’induzione esprime una condizione di possibilità del pensiero umano rispetto ad ogni classe finita, possibilità d’immaginare tutti gli oggetti della classe come effettivamente pensati uno dopo l’altro; e si tratta invero di possibilità logica piuttosto che pratica; l’ipotesi che ingrandisee - occorrendo - la rapidità del pensiero e finge un tempo assai grande a sua disposizione, riesce in realtà ad ingrandire la facoltà del pensiero, press’a poco come il microscopio ingrandisce la vista, senza decampare dalle regole logiche ed in ispecie senza condurre mai ad una contraddizione.

D’altra parte si può interpretare il principio d’induzione, non già a partire dall’ipotesi di una classe finita comunque data, ma come possibilità di costruzione della serie infinita che corrisponde ai numeri naturali

$1,2,3\ldots n\ldots$

Esso precisa allora il postulato esistenziale riconosciuto alla fine del § 6, affermando che l’operazione con cui si passa da un termine della serie al successivo conduce ad ogni termine della serie. Si ha così una proprietà caratteristica della serie degli atti del pensiero che si può determinare psicologicamente fissando un modo generale di passaggio da un pensiero al successivo; tale è p. es. la serie delle riflessioni del pensiero su se stesso:

A. il pensiero di A, il pensiero del pensiero di A ecc.