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“scientia„

Cantor chiama bene ordinata una serie che soddisfa al seguente requisito:

3) la serie ha un primo elemento, ed ogni serie contenuta nella data come parte ha sempre un primo elemento.

Questa proprietà è legata coll’esistenza di un successivo immediato. Si ha infatti il teorema:

In una serie bene ordinata ogni elemento, che non sia ultimo, ha un successivo immediato.

Sia $a$ un elemento (non ultimo) di una serie bene ordinata; gli elementi successivi ad $a$ formano una serie, parte della data, che è come questa bene ordinata, e quindi ha un primo elemento, $b$; $b$ è successivo immediato di $a$.

Nota — Il teorema anzidetto non è invertibile. P. es., nella serie,

$\displaystyle {1,1\,{\frac {1}{2}},1\,{\frac {3}{4}}\ldots ,\ldots 2\,{\frac {1}{4}},2\,{\frac {1}{2}},3,}$

ogni elemento ha un successivo immediato, ma pure la parte

$\displaystyle {\ldots 2\,{\frac {1}{4}},2\,{\frac {1}{2}},3,}$

non possiede primo elemento.

Ora possiamo trovare un criterio distintivo delle serie finite dalle infinite; esso è dato dal seguente

Teorema di Pieri. Una serie è finita se è bene ordinata insieme alla sua inversa.

Si abbia la serie bene ordinata:

$S=a_{1}\;a_{2}\;a_{3}\ldots ;$

se essa non è finita contiene la serie numerata

$s=a_{1}\;a_{2}\;a_{3}\ldots a_{n}\ldots$

corrispondente a tutti i valori di $n$, sia che esistano dopo gli elementi di questa serie altri elementi oppur no; in ogni modo $s$ è parte di $S$. Ma se prendiamo gli elementi di $S$, e quindi di $s$, nell’ordine inverso, la serie $S$ così ottenuta non è bene ordinata, perchè contiene una parte ($s$) senza primo elemento.

10. - Il principio d’induzione matematica e i numeri transfiniti. - Si abbia una relazione qualsiasi $R$, dipendente da un numero $x$; se questa relazione è verificata per $x=1$,