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20 | “scientia„ |
Cantor chiama bene ordinata una serie che soddisfa al seguente requisito:
3) la serie ha un primo elemento, ed ogni serie contenuta nella data come parte ha sempre un primo elemento.
Questa proprietà è legata coll’esistenza di un successivo immediato. Si ha infatti il teorema:
In una serie bene ordinata ogni elemento, che non sia ultimo, ha un successivo immediato.
Sia un elemento (non ultimo) di una serie bene ordinata; gli elementi successivi ad formano una serie, parte della data, che è come questa bene ordinata, e quindi ha un primo elemento, ; è successivo immediato di .
Nota — Il teorema anzidetto non è invertibile. P. es., nella serie,
ogni elemento ha un successivo immediato, ma pure la parte
non possiede primo elemento.
Ora possiamo trovare un criterio distintivo delle serie finite dalle infinite; esso è dato dal seguente
Teorema di Pieri. Una serie è finita se è bene ordinata insieme alla sua inversa.
Si abbia la serie bene ordinata:
se essa non è finita contiene la serie numerata
corrispondente a tutti i valori di , sia che esistano dopo gli elementi di questa serie altri elementi oppur no; in ogni modo è parte di . Ma se prendiamo gli elementi di , e quindi di , nell’ordine inverso, la serie così ottenuta non è bene ordinata, perchè contiene una parte () senza primo elemento.
10. - Il principio d’induzione matematica e i numeri transfiniti. - Si abbia una relazione qualsiasi , dipendente da un numero ; se questa relazione è verificata per ,