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Cantor chiama bene ordinata una serie che soddisfa al seguente requisito:

3) la serie ha un primo elemento, ed ogni serie contenuta nella data come parte ha sempre un primo elemento.

Questa proprietà è legata coll’esistenza di un successivo immediato. Si ha infatti il teorema:

In una serie bene ordinata ogni elemento, che non sia ultimo, ha un successivo immediato.

Sia un elemento (non ultimo) di una serie bene ordinata; gli elementi successivi ad formano una serie, parte della data, che è come questa bene ordinata, e quindi ha un primo elemento, ; è successivo immediato di .

Nota — Il teorema anzidetto non è invertibile. P. es., nella serie,

ogni elemento ha un successivo immediato, ma pure la parte

non possiede primo elemento.

Ora possiamo trovare un criterio distintivo delle serie finite dalle infinite; esso è dato dal seguente

Teorema di Pieri. Una serie è finita se è bene ordinata insieme alla sua inversa.

Si abbia la serie bene ordinata:

se essa non è finita contiene la serie numerata

corrispondente a tutti i valori di , sia che esistano dopo gli elementi di questa serie altri elementi oppur no; in ogni modo è parte di . Ma se prendiamo gli elementi di , e quindi di , nell’ordine inverso, la serie così ottenuta non è bene ordinata, perchè contiene una parte () senza primo elemento.

10. - Il principio d’induzione matematica e i numeri transfiniti. - Si abbia una relazione qualsiasi , dipendente da un numero ; se questa relazione è verificata per ,