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i numeri e l’infinito

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(o della retta) non è numerabile, cioè che la potenza del continuo è maggiore di quella di una classe numerabile.

Le ricerche ulteriori di Cantor in questo dominio lo hanno condotto a conclusioni assolutamente impreviste al senso comune; p. es. che il continuo rettilineo ha la stessa potenza della superficie (quadrato o piano), del volume (cubo o spazio) ecc. Tuttavia si può costruire una classe avente potenza maggiore del continuo: infatti l’insieme di tutti i possibili gruppi di punti d’un segmento ha potenza maggiore di questo ecc.

Infine accenneremo ad una importante questione posta da Cantor, che rimane per ora insoluta: se esista qualche classe (gruppo di punti sulla retta) che abbia potenza intermedia fra il numerabile e il continuo.

9. - Serie finite e infinite.

Una classe infinita, alla stessa guisa di una classe finita, può concepirsi come una serie ordinata, per modo che:

1) dati due elementi della serie uno di essi succede all’altro (e questo precede quello);

2) se l’elemento $c$ succede a $b$ e $b$ succede ad $a$, anche $c$ succede ad $a$.

Ma l’ordine di una serie infinita non soddisfa sempre alle proprietà 3) 4) indicate al § 4 per l’ordine di una serie finita: così p. es. la serie dei punti d’una retta è ordinata, ma dato un punto non vi è un successivo immediato nè un precedente immediato di esso. Infatti l’esistenza di un successivo immediato (e di un precedente immediato) si deduce dall’esistenza, di un successivo, (e risp. d’un precedente), tenuto conto della finitezza della serie: se $b$ è successivo ad $a$, ma vi sono elementi dopo $a$ e prima di $b$, si prenda uno di questi, $c$: se $c$ non è successivo immediato ad $a$, si prenda un elemento successivo ad $a$ e precedente a $c$ e così di seguito; se la serie data è finita, la successione dei tentativi si esaurisce e conduce al successivo immediato di $a$.

Come in una serie infinita può darsi che per un elemento (non ultimo) manchi il successivo immediato e di un elemento (non primo) non vi sia alcun precedente immediato, così può anche accadere che una serie infinita non possegga un primo nè un ultimo elemento. La serie $1,2,3\ldots ,n\ldots$ non ha ultimo elemento; la serie $\displaystyle {\cdots {\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}},1,2,3\ldots }$, non ha nè primo, nè ultimo elemento.