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| i numeri e l’infinito | 15 |
Nota. — Il riconoscimento che la serie dei numeri è infinita stabilisce, si può dire, una linea di demarcazione fra la mentalità dell’uomo minimamente civilizzato e la mentalità del selvaggio. Infatti l’intelligenza dei selvaggi, come quella degli animali, si suol misurare col numero più alto a cui essa arriva, al di sopra del quale sembra non concepire che una pluralità indistinta.
La considerazione puramente empirica dei numeri trova rispondenza nei sistemi naturali di segni o di suoni con cui i numeri si rappresentano. La rappresentazione convenzionale dei numeri mira a rendere esprimibili i numeri più alti, e nella sua forma più evoluta esprime un processo di formazione della serie infinità.
Il sistema di numerazione moderno basato sul posto delle cifre e sulla considerazione dello zero tu scoperto dall’indiano Brahma-Priester, venne nell’800 a conoscenza degli Arabi, e si diffuse in Europa nel 1200.
7. — Classi finite e infinite.
Quando si oltrepassa coll’immaginazione il dato reale dell’esperienza e ci si solleva alla considerazione della serie infinita dei numeri, si hanno - nel pensiero - non più classi di oggetti effettivamente rappresentati o pensati, ma classi di oggetti pensabili, in determinate condizioni, cioè elementi supposti. Ora si presentano innumerevoli modi di estendere colla supposizione i dati sperimentali, e nascono così diverse classi infinite di oggetti: un esempio è offerto dalla classe di punti che costituisce la retta; anche qui i punti non possono essere tutti eflettivamente pensati uno dopo l’altro, ma pur tuttavia sono supposti come pensabili in guisa da dar luogo a talune relazioni di ordine ecc.
Però l’estensione del concetto di classe alle classi infinite dà luogo a modificare le relazioni analizzate nel § 1. In quel paragrato si è usato infatti ripetutamente il principio sperimentale che «togliendo, uno dopo l’altro gli elementi d’una classe, si arriva ad esaurire la classe», principio che significa appunto la finitezza della classe eonsiderata. Non valendo più questo principio vediamo cadere la prop. 4) o 4’) del § 2: una classe infinita può essere equivalente ad una sua parte.
Data la serie dei numeri
