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i numeri e l’infinito

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In tale ipotesi:

si può porre una determinata corrispondenza ordinata (completa o parziale) fra le serie $(a)$ e $(b)$, ed in questa all’elemento $a_{n}$, corrisponde un determinato elemento $b_{n}$, di $(b)$;

si può porre analogamente una determinata corrispondenza ordinata (completa o parziale) fra le serie $(a)$ e $(c)$, ed in questa ad $a_{n}$ corrisponde un determinato elemento $c_{n}$.

Ebbene: se si confrontano le serie $(b)$ $(c)$ ponendo tra di esse la corrispondenza ordinata (completa o parziale), in questa all’elemento $b_{n}$ corrisponde l’elemento $c_{n}$.

In forza di questa proprietà si può porre la seguente

Def. - Elementi di due serie che si corrispondono in una corrispondenza ordinata si dicono di uguale posto.

Questa relazione gode delle proprietà di un’uguaglianza (riflessica, simmetrica e transitiva).

Diventa quindi possibile classificare gli elementi di quante si vogliano serie ponendo in una medesima classe tutti gli elementi di ugual posto (e arrestando la classificazione alla serie minima). Nel quadro seguente si vedono appunto costruite le classi $K_{1}\;K_{2}\ldots K_{n}$ i cui elementi, disposti sopra una verticale, appartengono alla serie $(a)\;(b)\;(c)\ldots$ ed occupano in esse ugual posto:

	$K_{1}$	$K_{2}$		$K_{n}$
$(a)=$	$a_{1}$	$a_{2}$	$\ldots$	$a_{n}$	$\ldots$
$(b)=$	$b_{1}$	$b_{2}$	$\ldots$	$b_{n}$	$\ldots$
$(c)=$	$c_{1}$	$c_{2}$	$\ldots$	$c_{n}$	$\ldots$

Il concetto astratto dell’elemento della classe $K_{n}$ si dice numero d’ordine dell’elemento $a_{n}$ nella serie $(a)$, ed ugualmente numero d’ordine di $b_{n}$ in $(b)$ ecc.

Questo numero (ordinale) è il segno del posto di $a_{n}$, e di tutti gli elementi di ugual posto nelle serie considerate.

5.- Confronto fra numeri cardinali e numeri ordinali.

Ad ogni numero ordinale $({\phantom {}}_{n})$, connotante il posto di $a_{n}$ nella serie

$a_{1}\;a_{2}\;\ldots a_{n}\ldots$

corrisponde un numero cardinale, cioè quello che designa il numero degli oggetti della classe

$(a_{1}\;a_{2}\;\ldots a_{n})$