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i numeri e l’infinito 9


In tale ipotesi:

si può porre una determinata corrispondenza ordinata (completa o parziale) fra le serie e , ed in questa all’elemento , corrisponde un determinato elemento , di ;

si può porre analogamente una determinata corrispondenza ordinata (completa o parziale) fra le serie e , ed in questa ad corrisponde un determinato elemento .

Ebbene: se si confrontano le serie ponendo tra di esse la corrispondenza ordinata (completa o parziale), in questa all’elemento corrisponde l’elemento .

In forza di questa proprietà si può porre la seguente

Def. - Elementi di due serie che si corrispondono in una corrispondenza ordinata si dicono di uguale posto.

Questa relazione gode delle proprietà di un’uguaglianza (riflessica, simmetrica e transitiva).

Diventa quindi possibile classificare gli elementi di quante si vogliano serie ponendo in una medesima classe tutti gli elementi di ugual posto (e arrestando la classificazione alla serie minima). Nel quadro seguente si vedono appunto costruite le classi i cui elementi, disposti sopra una verticale, appartengono alla serie ed occupano in esse ugual posto:

             
          
   
   

Il concetto astratto dell’elemento della classe si dice numero d’ordine dell’elemento nella serie , ed ugualmente numero d’ordine di in ecc.

Questo numero (ordinale) è il segno del posto di , e di tutti gli elementi di ugual posto nelle serie considerate.

5.- Confronto fra numeri cardinali e numeri ordinali.

Ad ogni numero ordinale , connotante il posto di nella serie

corrisponde un numero cardinale, cioè quello che designa il numero degli oggetti della classe