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“scientia„

1) dati due elementi qualunque uno di essi succede all’altro, e questo precede quello;

2) se l’elemento $c$ succede a $b$ e $b$ succede ad $a$, anche $c$ succede ad $a$;

3) ogni elemento, $a$, ad eccezione dell’ultimo, ha un successivo immediato, $b$, di guisa che non vi è alcun elemento che succeda ad $a$ e preceda $b$;

4) ogni elemento, ad eccezione del primo, ha un precedente immediato, di cui è il successivo.

Ciò posto si considerino due serie o classi ordinate:

$(a)=(a_{1}\;a_{2}\;a_{3}\ldots a_{n}\ldots )$

$(b)=(b_{1}\;b_{2}\;b_{3}\ldots b_{n}\ldots )$

Cerchiamo di stabilire fra di esse una corrispondenza biunivoca ordinata, per modo che:

1) al primo elemento, $a_{1}$, di $(a)$ corrisponda il primo, $b_{1}$, di $(b)$;

2) se due elementi $a$, $b$ si corrispondono, si corrispondano anche i loro successivi.

In forza di queste condizioni ad $a_{2}$ successivo di $a_{1}$ in $(a)$, dovrà corrispondere $b_{2}$, successivo di $b_{1}$ in $(b)$ e quindi ad $a_{3}$, $b_{3}$ ecc. Così procedendo si otterrà effettivamente una corrispondenza ordinata (completa) fra $(a)$ e $(b)$ se le due classi sono equivalenti; altrimenti, se p. es. $(b)>(a)$, si porrà una corrispondenza ordinata fra $(a)$ ed una parte di $(b)$, restando senza corrispondenti gli elementi che succedono in $(b)$ al corrispondente dell’ultimo di $(a)$; si può anche dire che si ha in questo caso una corrispondenza ordinata parziale o similare fra le due serie.

Si considerino ora tre serie qualunque

$(a)=(a_{1}\;a_{2}\;a_{3}\ldots a_{n}\ldots )$,

$(b)=(b_{1}\;b_{2}\;b_{3}\ldots b_{n}\ldots )$,

$(c)=(c_{1}\;c_{2}\;c_{3}\ldots c_{n}\ldots )$,

ed, essendo $a_{n}$ un elemento qualsiasi di $(a)$, si supponga soltanto che ciascuna delle classi considerate, sia prevalente alla parte

$(a_{1}\;a_{2}\;a_{3}\ldots a_{n})$