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i numeri e l’infinito

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Si aggiungano le osservazioni seguenti:

In luogo di considerare l’uguaglianza come una relazione tra due oggetti $a$, $b$ di una classe, rispetto all’astratto, si può considerare l’astratto funzione di $a$ come uguale all’astratto funzione di $b$; ad esempio invece di dire che due segmenti sono uguali, si può dire che la lunghezza di un segmento è uguale alla lunghezza dell’altro. Questo giudizio riveste allora la forma, di una identità, ma il suo valore non tautologico si desume dalle considerazioni che seguono.

Ogni concetto astratto corrisponde ad una classe di oggetti. Ciò che i logici designano come estensione del concetto è l’insieme degli oggetti che compongono la classe suddetta; così due concetti aventi la medesima estensione contengono gli stessi oggetti. Accanto all’estensione i logici considerano la comprensione del concetto, cioè l’insieme delle proprietà (per così dire esterne) che caratterizzano la classe di oggetti corrispondente. Ora due serie diverse di proprietà possono definire la medesima classe di oggetti; così per esempio la classe dei triangoli equilateri coincide con quella dei triangoli equiangoli.

Affermare l’uguaglianza di due concetti astratti significa in generale riconoscere che due classi definite mediante proprietà diverse, cioè differenti dal punto di vista della comprensione, sono identiche dal punto di vista dell’estensione, ossia, contengono gli stessi elementi.

Questa analisi del significato dell’uguaglianza appartiene ad A. Padoa.

Ritornando al caso in cui si considera l’astratto di una classe come funzione di un suo elemento, si vede qui un modo particolare di definire comprensivamente quel concetto astratto, che rimane sempre identico, dal punto di vista dell’estensione, quando si muta l’elemento scelto nella classe considerata.

4. Numeri ordinali. - Per definire i numeri ordinali si parte dalle esperienze che seguono:

Una classe di oggetti (materialmente) dati si può ordinare (mediante un’opportuna disposizione nello spazio, o mediante contrassegni o semplicemente nel pensiero), pensando un elemento di essa come primo e gli altri elementi, ad eccezione di uno (l’ultimo) come dati successivamente uno dopo l’altro; si ottiene così una classe ordinata, o serie nella quale: