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“scientia„

Il ragionamento riesce ugualmente (a fortiori) se la classe $(b)$ contiene più di un elemento oltre gli $(a)$ .

La proprietà 4) si può enunciare in altro modo, ponendo la seguente:

Def. - Se $(a)$ e $(b)$ sono due classi e la classe $(a)$ è equivalente ad una classe contenuta in $(b)$ e non coincidente con $(b)$ , cioè ad una parte di $(b)$ , la classe $(b)$ si dice prevalente ad $(a)$ , e si scrive:

(b)>(a).

Allora la proprietà 4) si può enunciare dicendo:

4’) Se di due classi $(a)$ $(b)$ l’una è prevalente all’altra, le due classi non sono equivalenti.

O più brevemente (tenendo presente la prop. 3): Una classe non può essere equivalente ad una sua parte.

Confrontiamo ora due classi qualunque di oggetti materialmente dati. Si ha:

5) Date due classi $(a)$ $(b)$ , o esse sono equivalenti o una di esse è prevalente all’altra (cioè questa è equivalente ad una parte di quella).

Tale proprietà si dimostra in base allo stesso principio sperimentale adoperato per stabilire la 4). Togliamo da ciascuna delle due classi $(a)$ $(b)$ un elemento, p. es:

a_{1}\quad ,\quad b_{1}\quad ,

e associamo idealmente questi elementi; la questione è ridotta al confronto delle classi residue. Ma così operando ripetutamente si giunge ad esaurire una delle due classi, p. es. $(a)$ , mentre l’altra $(b)$ può essere contemporaneamente esaurita o non ancora esaurita. Risulta quindi che $(a)=(b)$ oppure $(b)>(a)$