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i numeri e l’infinito

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3) Proprietà transitiva:

se	$(a)=(b)$.,
e	$(b)=(c)$,.
anche	$(a)=(c)$.,

Intatti se un elemento $a$ si pensa associato ad uno $b$, e questo $b$ ad uno $c$, restano associati nel pensiero $a$ e $c$. (La corrispondenza così ottenuta fra $(a)$ e $(c)$ dicesi prodotto di quelle poste fra $(a)$ e $(b)$ e fra $(b)$ e $(c)$).

A queste proprietà si aggiunge la seguente:

4) Se una classe $(\mathrm {b} )$ contiene tutti gli elementi di $(\mathrm {a} )$ e qualche altro elemento, le due classi $(\mathrm {a} )$ e $(\mathrm {b} )$ non sono equivalenti.

Si abbiano le classi

$(a)=(a_{1}\,a_{2}\dots )$

$(b)=(h\,a_{1}\,a_{2}\dots )$.

dove si suppone per semplicità che la classe $(b)$ contenga un solo elemento, $h$, oltre gli $a$.

Se fosse

$(a)=(b)$,

si avrebbe fra le due classi una corrispondenza biunivoca. In questa ad $h$ corrisponderebbe un certo elemento $a_{i}$ di $(a)$. Togliamo $h$ ed $a_{i}$ dalle due classi rispettivamente; avremo:

$(a_{1}\,a_{2}\dots a_{i-1}\,a_{i+1}\dots )=(a_{1}\,a_{2}\dots a_{i-1}\,a_{i}\,a_{i+1}\dots )$

Ora fra queste due classi intercede una corrispondenza, in cui ad $a_{i}$ corrisponde un certo elemento $a_{h}$; tolti $a_{i}$, $a_{h}$ rispettivamente dalle due classi, rimangono classi equivalenti e così via di seguito. Ma seguitando a togliere successivamente gli oggetti di una classe, materialmente dati, la classe si esaurisce; si arriva pertanto a ridursi al caso di una classe composta d’un solo oggetto $a_{r}$; e si trova che questa dovrebbe essere equivalente ad una classe che contiene anche un altro elemento:

$(a_{r})=(a_{r}\,a_{s})$

Questa conclusione è evidentemente assurda perchè se si fa corrispondere l’elemento $a_{r}$ della prima classe all’uno o all’altro elemento della seconda, rimane sempre in questa seconda classe un elemento a cui non viene associato alcun elemento della prima.