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| 50 | le sfere omocentriche |
neta, E il polo di VV, ON il parallelo a VV condotto per O, abbiamo veduto, che M si trova sul parallelo ON. Il piede della perpendicolare abbassata dal pianeta M sul piano diametrale OCO’D in questa figura sarà rappresentato dallo stesso M: ed OM sarà la distanza di questo piede dal punto O, polo del piano ortogonale. Ora dal corollario della Prop. V risulta, che questa distanza OM sta al diametro ON del parallelo in un rapporto costante. Il luogo dei punti M sarà dunque simile e similmente posto rispetto ad O, che il luogo dei punti N; sarà perciò un circolo tangente in O al circolo OCO’D. Ed è manifesto, che l’arco TM, il quale indica la distanza di M da T sul circolo, ha per misura il doppio dell’angolo NOO’, ossia il doppio dell’argomento PAO. Mentre dunque il polo P della seconda sfera descrive sul suo parallelo una circonferenza a partire dalla linea OA, il punto M descriverà nel medesimo senso due circonferenze sul circolo TO partendo da T. Siccome poi il rapporto costante di OM a ON è (Prop. V. Coroll.) quello della saetta AS (fig. 3) al diametro AB della sfera: ne concluderemo che OT è uguale alla saetta ora nominata AS: che è quanto ci proponevamo di dimostrare.
Corollario I. Se pel centro X del circolo OT si conduca una retta perpendicolare al piano diametrale, potremo dire che il pianeta descrive angoli uguali intorno a questa retta.
Corollario II. Se immaginiamo da tutte le posizioni del pianeta condotte le corrispondenti perpendicolari al piano diametrale, queste formeranno nel loro insieme un cilindro retto, avente per base il circolo OT. E la curva descritta dal pianeta sopra una sfera fissa, concentrica alle due mobili, non è altro che l’intersezione di quella sfera con quel cilindro retto.
Corollario III. Facilmente ora si potrà costruire la distanza del pianeta dal piano fondamentale OO’ ad ogni momento. Basta sul circolo OT prendere, partendo da T, un arco TM di ampiezza doppia dell’argomento. La distanza del punto M dal diametro OT esprimerà in grandezza ed in direzione la distanza domandata1
- ↑ Secondo le moderne espressioni, il diametro del circolo OT essendo uguale a 1 — cos i, ossia a 2 sin2 i, sarà il raggio di tal circolo sin2 2 i; dicendo y la distanza del pianeta dal piano fondamentale, contata negativamente sotto questo piano, avremo l’espressione
y = -sin2 i sin 2 θ.
