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| 46 | le sfere omocentriche |
Scolio I. Quando, a partire da AB, il polo P avrà descritto mezza circonferenza del suo parallelo QR, l’angolo MPB sarà pure di mezza circonferenza; quindi anche in quest’altra posizione i tre punti APM giaceranno sul circolo massimo AOB, ma ordinati fra loro diversamente. Dopo un giro intiero di P intorno ad A e di M intorno a P si ristabilirà completamente la posizione iniziale: onde il moto di M sarà strettamente periodico, e il periodo sarà equivalente alla durata di una rivoluzione delle due sfere.
Scolio II. Se consideriamo dall’altra parte del circolo AOB una posizione P’ del polo mobile simmetrica rispetto a P (cioè prendiamo l’angolo P’AO = PAO), si avrà pure l’angolo M’P’B = MPB; e la posizione del pianeta in M’ sarà simmetrica colla posizione M rispetto al circolo AOB. Di qui si conclude, che la via percorsa dal pianeta M è simmetrica rispetto a questo circolo, il quale perciò chiameremo circolo fondamentale, e il suo piano, piano fondamentale. Per brevità inoltre designeremo il piano CD, perpendicolare all’asse fisso AB della prima sfera, col nome di piano diametrale, e il piano del circolo ACBD, perpendicolare ai due precedenti (del qual circolo O è il polo anteriore), sarà chiamato piano ortogonale. 
La distanza costante AP pei poli omologhi della sfera fissa e della sfera mobile chiameremo inclinazione. E l’angolo uniformemente variabile OAP = MPB, che determina ad ogni istante la posizione del pianeta, chiameremo l’argomento.
Proposizione II. Teorema. — Se si consideri il circolo APB (fig. 3) in una determinata sua posizione durante il movimento, e di questo circolo in quell’istante sia E il polo: dico che, conducendo da E al pianeta l’arco di circolo massimo EM, si avrà EM = EO, e di più sarà EM perpendicolare sopra MP. — Poichè E è polo del circolo APGB, la distanza di P da E sarà un quadrante, e siccome per supposizione la distanza di P dal pianeta M è pure un quadrante, P sarà polo dell’arco EM, onde avremo PM ortogonale su EM. Prolungato poi
