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del prof. m. cantor

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tangoli adiacenti, τρίγωνα ὀρθογώνια ἡνωμένα, non posson esser intesi in altro senso che in quello della composizione qui sopra indicata di due triangoli razionali per formarne un terzo. Egli è vero, tutte queste tre cose si trovano di nuovo sul terreno dell’India. Dovremo anche qui ammettere due potenze di riflessione distinte, capaci di giungere indipendentemente a due ordini d’idee coincidenti esattamente fin nelle ultime particolarità? Hankel medesimo ha così ben dimostrato¹ che la formula di Brahmagupta per i quadrilateri probabilissimamente è stata proposta soltanto per trapezi e per tetragoni, che sembra dovuta ad un accidente la validità di quella forma per tutti i quadrilateri inscrittibili. Egli ha riconosciuto nei trapezi dei quadrilateri formati appunto da quattro triangoli rettangoli applicati gli uni contro gli altri; nei tetragoni, figure da noi oggi denominate trapezi paralleli simmetrici. Dovremo ancora qui far notare che appunto questi tetragoni corrispondono al τραπέζιον ἰσοσκελὲς di Erone², la figura prediletta degli agrimensori egiziani già prima di Erone?

Nè di maggior peso sembra l’affermazione, con cui Hankel chiude la sua polemica³: «Come dimostrazione della totale indipendenza, della geometria indiana da Erone si può addurre la formula di quest’ultimo per il calcolo dell’area di un triangolo equilatero $\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}\right)\alpha ^{2}$, la quale si trova presso gl’Indiani, e tuttavia sembra indubitato, che se questi avessero conosciuto in qualunque modo la geometria eroniana, tal formula avrebbe dovuto da essi esser notata a preferenza di qualunque altra». Noteremo qui anche, per ciò che deve seguire, che la sostanza della formula suddetta dipende dal fare ${\frac {1}{4}}{\sqrt {3}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{10}}$ ossia ${\sqrt {3}}={\frac {26}{15}}$. Per adempire al desiderio di Henkel basterebbe dunque dimostrare che gli Indiani conoscevano questa approssimazione pel valore di ${\sqrt {3}}$. Ma quanto sapeva Hankel, quanto sapevamo noi tutti qualche tempo fa della geometria indiana, per poter dire apoditticamente, questo o quel teorema non vi si trova! Ci basterà ricordare alcune indubitate derivazioni della geometria di

1. Henkel, pp. 212-215.
2. Agrimensoren, p. 42.
3. Henkel, p. 211.