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studi greco-indiani

quale si trova noti solamente presso gli Egiziani, e dipendentemente da questi presso Erone e presso i Romani, ma anche presso gli Indiani¹: della ricorrenza di alcuni speciali triangoli, specialmente dei triangoli rettangoli 3, 4, 5 e 5 12, 13, come pure dell’obbliquangolo 13, 14, 15: della formola ${\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$ per l’area di un quadrilatero in scrittibile, la quale posto uno dei lati $d=0$, si cambia nelle formola data da Erone per l’area di un triangolo qualunque e per la quale egli crede di dover supporre la cognizione presso Erone anche nella forma relativa al quadrilatero.

Hankel ha opposto², che l’espressione relativa alla linea pel vertice è talmente naturale, da poter esser stata usata indipendentemente. Questo è certamente possibile, tuttavia è singolare che tanto presso gli Egiziani quanto presso gli Indiani quella denominazione sia stata usata soltanto da geometri calcolatori.

Alquanto più fondate, ma tuttavia non cogenti sono le obbiezioni ch’egli fa rispetto ai tre triangoli razionali. Chi possedeva il teorema di Pitagora, e le formule inservienti alla creazione di triangoli rettangoli razionali

$c_{1}=\alpha ^{2}-\beta ^{2}\qquad c_{2}=2\alpha \beta \qquad h=\alpha ^{2}+\beta ^{2}$

poteva facilmente giungere ai triangoli rettangoli 3, 4, 5 e 5, 12, 13 col porre prima: $\alpha =2$, $\beta =1$ poi $\alpha =3$, $\beta =2$. Poteva inoltre il triangolo 3, 4, 5, col prendere una scala tre volte più piccola, o col triplicarne la misura, dare origine all’altro 9, 12, 15. Quest’ultimo applicato al triangolo 5, 12, 13 per il comune cateto 12 dava il triangolo scaleno razionale 13, 14, 15. Bene; ma ciò suppone sempre: 1.° che si conoscesse il teorema di Pitagora; 2.° che si avessero le formule pei triangoli razionali rettangoli; 3.° che si conoscesse il metodo di produrre un nuovo triangolo razionale coll’applicare due triangoli l’uno presso l’altro. Tutte queste supposizioni si verificano, com’è noto, per gli Alessandrini; riguardo alle due prime cose lo si sa da molto tempo, riguardo alla terza abbiam dimostrato noi primi presso Erone d’Alessandria³, che i suoi triangoli ret-

1. Colebrooke, p. 72.
2. Hankel, p. 210.
3. Agrimensoren, p. 40 e nota 77.