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| 378 | rivista di scienza |
tinue senza derivata (per es. funzioni di Weierstrass); ma essa si manifesta anche in esempii più semplici della teoria delle funzioni e del calcolo infinitesimale, essendo inaccessibili ad una esatta intuizione spaziale anche le particolarità di curve rappresentate da funzioni intere (aggregati di punti della teoria degli insiemi). Non gli sembra attendibile l’opinione che lo spirito umano abbia la facoltà di rappresentarsi esattamente solo le curve analitiche, mentre le non analitiche trascendano a questa facoltà d’intuizione. Attribuisce invece la diversità all’inesattezza delle nostre idee di spazio, ritenendo che l’immagine in noi risvegliata dalla parola curve sia piuttosto quella di striscie (Streifen) di larghezza piccolissima ma non nulla, le quali hanno proprietà visibili, parallele in certo modo alle proprietà matematiche delle sole curve analitiche. Eitiene utile uno scambio d’idee su questo problema di capitale importanza per le applicazioni della matematica alle scienze naturali. Passando poi a rilevare l’influenza che la considerazione dell’inesattezza delle nostre idee di spazio può avere sul modo d’intendere e formulare gli assiomi e le definizioni in geometria, esamina l’assioma della geometria euclidea che, in base all’idea ordinaria di spazio, afferma la coincidenza delle due parallele per un punto ad una retta (le due posizioni limiti di una secante); e nota che, avendo riguardo all’inesattezza delle nostre percezioni spaziali, soddisferebbe ai nostri sensi anche l’ipotesi di un angolo piccolissimo fra le due parallele, ipotesi tanto meno confutabile pensando il punto alla distanza di Sirio della retta; così la geometria non euclidea, esente da contraddizioni logiche, non è in contrasto nemmeno colla nostra intuizione spaziale; e, solo perchè l’affermazione euclidea è la più semplice possibile, essa è preferita in pratica alla non euclidea, in base al principio detto da Mach economico. Esamina poi la definizione euclidea di superfìcie: Superficie è ciò che ha solo lunghezza e larghezza — superficie è limite di un corpo. Osserva che, ad una minuta analisi e dal punto di vista delle scienze naturali, niente appare in natura che risponda alla definizione teorica di superficie; qual’è la superficie di una spugna? come si può parlare di piano tangente e di curvatura di una tale superficie come si suol fare nelle applicazioni geometriche del calcolo? L’idea teorica di superficie sembra piuttosto dovuta al fatto che l’occhio non avverte discontinuità finissimime; sorgono in prima da osservazioni inesatte le idee che formano poi la base delle nostre speculazioni matematiche.
L. Boltzmann fa osservare, a sostegno delle idee espresse da Klein, che ad ogni passo s’incontrano anche in fisica concetti non accessibili all’intuizione immediata; cita, come esempio, una curva inderivabile da lui trovata come rappresentante dell’effettivo
