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II. Résultat de l’insertion des moyens proportionnes harmcniques et arithmétiques dans la seconde progression géométrique.

1

${\tfrac {3}{2}}$

2

3

${\tfrac {9}{2}}$

6

9

${\tfrac {27}{2}}$

18

27

L’auteur dit qu’il faut encore, dans tous les intervalles Is qu’un nombre vaille le précédent multiplié par $1{\tfrac {1}{3}}$, insérer des nombres, de manière à former des intervalles dont la raison géométrique soit $1{\tfrac {1}{8}}$. Or: dans le résultat n° 1, l’intervalle de chaque premier extrême au moyen proportionnel harmonique a pour raison géométrique $1{\tfrac {1}{3}}$; car ${\tfrac {4a}{3}}=a(1+{\tfrac {1}{3}})$. Du moyen proportionnel harmonique au moyen proportionnel arithmétique, l’intervalle a pour raison $1{\tfrac {1}{8}}$; car ${\tfrac {3a}{2}}={\tfrac {4a}{3}}\times {\tfrac {9}{8}}$. Du moyen proportionnel arithmétique à l’autre extrême, l’intervalle a pour raison $1{\tfrac {1}{8}}$; car $b=2a={\tfrac {3a}{2}}\times {\tfrac {4a}{3}}$. Dens chacun des intervalles dont la raison est $1{\tfrac {1}{3}}$, on peut intercaler deux nom. bres, de manière à former deux nouveaux intervalles ayant pour raison géométrique $1{\tfrac {1}{8}}$, et entre le dernier de ces deux nombres et le nombre suivant, le rapport géométrique se trouve être constamment celui de 243 à 256, comme le dit l’auteur. Voici le résultat de cette insertion, divisé en