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sait autant en nombre l’un des deux extrêmes qu’elle même était surpassée par l’autre: c’est là ce qu’on nomme un moyen proportionnel arithmétique. Ainsi, pour opérer les insertions indiquées, il faut trouver, 1o la raison harmonique, 2o la raison arithmétique. D’abord, soit a le premier extrême, b le second, et représentons par ${\tfrac {1}{y}}$ la raison harmonique cherchèe. Le moyen proportionnel harmonique, sera $a+{\tfrac {a}{y}}$ il sera aussi $a+{\tfrac {a}{y}}=b-{\tfrac {b}{y}}$ donc $a+b=(b-a)y$; donc ${\tfrac {a+b}{y}}=b-a$; donc ${\tfrac {1}{y}}$; donc $y={\tfrac {a+b}{a-b}}$; donc enfin ${\tfrac {1}{y}}={\tfrac {b-a}{a+b}}$. Maintenant, comme cest entre tous les termes d’une progression géométrique que nous avons des moyens proportionnels armoniques à insérer, soit la raison de la progression. Nous avons math>b=az</math>: donc ${\tfrac {1}{y}}={\tfrac {az-a}{a+za}}=tfrac{z-1}{z+1}$. Ainsi, la raison harmonique reste toujours la même, quels que soient les extrêmes , puisqu’ elle est exprimée seulement en fonction de la raison de la progression géométrique. Or, pour la premiére progression, $z=2$; donc ${\tfrac {1}{y}}={\tfrac {2-1}{2+1}}={\tfrac {1}{3}}$. Pour la seconde progression, $z=3$; donc ${\tfrac {1}{y}}={\tfrac {3-1}{3+1}}={\tfrac {1}{2}}$.

Pour trouver la raison arithmétique, soit a le premier extrême, b le second, x la différence cherchèe. Le moyen proportionnel sera $a+x$: il sera aussi $b-x$; donc $a+x=b-x$; donc $2x=b-a$; donc enfin $x={\tfrac {b-a}{2}}$. Maintenant, comme c’est entre tous les termes d’une progression géométrique que nous avons des moyens proportionnels arithmétiques à insérer, soit z la raison de cette progression: nous avons $b=ax$; donc $x={\tfrac {az-a}{2}}={\tfrac {a(x-1)}{2}}$. Or, prou