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questi assiomi dipendano le proposizioni seguenti, ed altre analoghe:

a, b, c ∈ 1 . ⊃: ac ⊃ ab: = . c ∈ a ∪ ab ∪ b.

            »            ac = ab . = . c = b.

            »            a’c = a’b . = . c = b.

            »            a’c ⊃ a’b . = . c ∈ a ∪ b ∪ a’b.

            »            bc ⊃ a’b . = . c ∈ b ∪ a’b.

            »            c’a = b’a . = . c ∈ a’ab.

§ 10.

P1. «Esistono dei punti non contenuti in una data retta». Questo Ass. occorre solo in §11 P28, onde poter dedurre che quattro punti collineari sono anche complanari.

Nelle P22, 31 i punti (...) stanno per brevità al posto di termini, scritti nella P32.

Si notino le P. 6, 9, 13-15, 27, 32, ecc.

§ 11.

Si notino le P. 4, 6, 7, 10, 15, 16, ecc.

La dimostrazione della P17, benchè lunga, è per concetto semplice. Si fa vedere che le varie parti della figura (abc)’’, diversamente raggruppate, formano la figura (abd)’’. Da essa si deduce una successione di altre, di cui le ultime, più importanti, sono le 24 e 25.

§ 12.

L’assioma XV dice «dato un piano, esistono dei punti non contenuti in esso».

Di questa proposizione non avremo occasione di fare uso nelle poche proposizioni seguenti. Essa però è necessaria in altre ricerche.

L’assioma XVI dice: «dato un piano, e due punti da bande opposte del piano, allora ogni punto dello spazio o sta sul piano dato, ovvero uno dei segmenti che lo uniscono ai punti dati incontra il piano». Questa proposizione dice in sostanza che lo spazio che noi consideriamo è a tre dimensioni. Questo assioma serve per dimostrare la