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si ha la 22; eliminando d si ha la 27. L’eliminazione di b darebbe nulla d’importante.

Le proposizioni più importanti di questo § sono le 4, 16, 19, 20, 21, 30, 31, 35, 43, 46.

Le altre, o sono trasformazioni intermediarie, oppure proposizioni che saranno completate dagli assiomi che seguono.

§ 8.

All’Assioma X si può sostituire la proposizione seguente:

a, b ∈ 1 . c, d ∈ a’b : ⊃ ∴ e ∈ 1 . c, d ∈ ae : — =_e ∧.

«Se a e b sono punti, e c, d sono punti del raggio a’b allora esiste un punto e tale che i punti c e d appartengano al segmento ae».

Si immagini una porzione di superficie qualunque, e dicansi 1 i punti interni ad essa. Si supponga che esista sempre uno ed un solo arco di geodetica congiungente due punti qualunque della superficie data, e che esso sia sempre interno alla porzione considerata. Indicando con ab l’arco di geodetica che unisce i due punti a e b, interni a quella porzione di superficie, sussisteranno tutti gli assiomi precedenti il X; questo, a seconda dei casi, potrà essere vero, o non; quindi esso non è conseguenza dei precedenti.

Le proposizioni più importanti di questo § sono le 4, 12, 15, 19.

§ 9.

Gli assiomi X e XI si possono sostituire con questa sola proposizione:

a, b, c, d ∈ 1 . p, q ∈ ab . p, q ∈ cd . p — = q : ⊃ ∴ x, y ∈ 1 . a, b, c, d ∈ x, y : — =_xy ∧.

«Se a, b, c, d sono punti ed i segmenti ab e cd hanno comuni due punti distinti, quei quattro punti appartengono ad uno stesso segmento».

Sono a notarsi le P. 3, 5, 8, 15, ecc.

Molte altre proposizioni si possono dedurre dagli assiomi finora enunciati. Si lascia al lettore la cura di esaminare da quali di