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che è la P5 del §1. Nel secondo caso essa significa:
a, b, c, d ∈ 1 /. a = b.c = d : ∪ : a = d . b = c : : o . ac = bd,
ovvero, brevemente,
a, b, c, d ∈ 1 . a ∪ c = b ∪ d : ⊃ . ac = bd,
ed allora essa comprende anche l'Ass. V del presente scritto. È la seconda interpretazione che bisogna dare alle parole dell'A.
Si vede da questa breve discussione quanto sia difficile in questioni così delicate, anche ad un accurato scrittore, evitare ogni pericolo di ambiguità, ove si proceda col linguaggio comune. Onde vincere questa difficoltà occorre analizzare ogni proposizione, e fissare completamente il valore dei termini di cui ci serviamo. Così facendo si arriva necessariamente o alle notazioni logiche, che qui uso, o a un sistema equivalente.
Il Grundsatz III del Pasch significa:
a, b, ∈ 1 . c ∈ ab : ⊃ : a - = c . a — = b . a — ∈ bc.
Esso è un gruppo di tre proposizioni. L'una è la P11 del §5, equivalente all'Ass. VI, l'altra è la P6 del §4, equivalente all'Ass. III; l'ultima è la P18 del §6, e questa è un teorema.
I Grundsätze IV, V, VI, VII, VIII del Pasch corrispondono ai miei Ass. VIII, IX, VII, X, XI.
In seguito, poiché il Pasch considera la porzione di piano come un nuovo ente non definito, cessa ogni analogia fra il suo studio e il mio.
§ 6.
Le proposizioni contenute in questo § e nei successivi, non hanno tutte eguale importanza; molte di esse costituiscono una successione di trasformazioni, colle quali, partendo da una proposizione se ne deduce un'altra.
Un procedimento notevole di trasformazione di proposizioni, e di cui facciamo uso qui ed in seguito, è l'eliminazione che sta nella seguente regola:
«Avendosi una proposizione, i cui due membri (Hp e Ts) contengano una stessa indeterminata x, si metta, ove sia possibile, la proposizione sotto la forma:
a. x ∈ h: ⊃. x ∈ k,
