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trica rispetto ad a e b. Se a, b, c sono numeri, e f(a,b) è una funzione simmetrica di a e b, la relazione (a — b)2 c = f(a,b) soddisfa a tutti gli assiomi finora enunciati.
P9. Se con ab si fosse inteso il sistema di punti giacenti sul segmento ab, compresi gli estremi, l’assioma VI non sarebbe verificato.
P16. L’assioma VII dice che un segmento non nullo si può prolungare da una qualunque delle sue parti.
Gli assiomi finora enunciati esprimono le proprietà primordiali dei segmenti; quelli che seguono sono alquanto più complicati.
Il sig. M. Pasch nel suo pregevole libro Vorlesungen über Geometrie (Leipzig 1882), onde studiare le proprietà della retta, parte pure dal concetto di segmento, enunciandone le proprietà fondamentali mediante Grundsätze (Assiomi) e quelle che se ne possono dedurre mediante Lehrsätze (Teoremi). Ecco i due primi assiomi del Pasch:
«I. Zwischen zwei Punkten kann man stets eine gerade Strecke ziehen, und zwar nur eine».
«II. Man kann stets einen Punkt angeben, der innerhalb einer gegebenen geraden Strecke liegt».
Si scorge l’equivalenza di questa seconda proposizione col mio Ass. IV.
Qual’è il significato della prima? L’espressione «due punti» presenta una prima ambiguità, indicando essa, nel linguaggio comune, ora «due punti qualunque» ora «due punti distinti». Nel primo significato la prima parte della prop. I si può tradurre
a, b ∈ 1. ⊃. ab ∈ K 1,
la quale è la P4 del §1. Nel secondo significato essa si traduce
a, b ∈ 1. a — = b: ⊃. ab ∈ K 1,
ed allora si escludono i segmenti nulli. È nel secondo significato che vanno intese le parole dell’A., come si vede dalla prop. II.
La stessa espressione «due punti» si presta ancora ad un’altra ambiguità, poiché essa indica talvolta la successione (disposizione) di due punti, altra volta il gruppo (combinazione) dei punti. Nel primo caso, la seconda parte della prop. I si può interpretare
a, b, c, d ∈ 1. a = b.c = d: ⊃. ac = bd
