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Le prop. 10 e 11 si enunciano e dimostrano come la 12.
P29. «Se a, b, c sono punti, non collineari, allora (abc)" è un piano».
§ 4.
P1. «La classe punto non è nulla», ossia «esistono dei punti».
Di questo assioma non avremo mai occasione di fare uso, e si potrebbe sopprimere. Si è citato per analogia cogli assiomi II, IV, VII, XII, XV. Del resto questa proposizione fa parte dell’ipotesi di quasi tutte le proposizioni. Così nell’assioma seguente l’ipotesi è che a sia un punto, dalla quale ipotesi si deduce che esistono dei punti.
P2. «Se a è un punto, si deduce che l’essere x un punto diverso da a non è, rispetto ad x, assurdo», ossia «dato un punto, esistono dei punti non coincidenti in esso».
Di questo assioma si fa uso solo in §9P20, e precisamente per poter affermare «tre punti coincidenti sono collineari». Questo assioma è pure contenuto nelle ipotesi di alcune proposizioni, ad es. nell’ass. IV.
P3. «Se a è un punto, la classe aa è nulla».
Se al posto della relazione fondamentale c ∈ ab si sostituisce una relazione qualunque fra tre enti, questa proposizione non è in generale vera. Se 1 significa numero (finito), e si prende per relazione fondamentale un’equazione f(a, b, c) = 0, che supporremo algebrica e di primo grado in e, affinchè sia vera la prop. 3, che qui nel nostro caso significa: «l’equazione f(a, c, c) = 0 non può essere soddisfatta da alcun valore di a e di c», bisogna che il coefficiente di c in f(a, b, c) sia divisibile per a — b, e non lo sia il termine noto. Se il coefficiente di c è a - b, allora questa relazione soddisfa ai due assiomi III e IV.
P6. «Se a, b sono punti, e c è un punto di ab, saranno a e b distinti». Le P4 e 5 sono i passaggi intermediarii dalla P3 alla 6.
§5.
P1. L’assioma V dice che il segmento ab è funzione simmetrica di a e b. Non ogni relazione sostituita al posto di c ∈ ab, è simme-
