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sulle trasformazioni geometriche delle figure piane.

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un punto multiplo secondo $n-1$ e $2(n-1)$ punti semplici, cioè: 1.° il punto in cui $D$ incontra il piano $P'$; 2.° gli $n-1$ punti in cui il piano $P'$ è incontrato dalla direttrice $K$; 3.° gli $n-1$ punti in cui la retta comune intersezione dei piani $P$, $P'$ è incontrata dalle rette che uniscono il punto comune alla retta $D$ ed al piano $P$ coi punti comuni alla curva $K$ ed allo stesso piano $P$.

In altre parole: le superficie gobbe analoghe a quella le direttrici della quale sono $K,D,R$, hanno tutte in comune: 1.° la direttrice $D$ (multipla secondo $n-1$, epperò equivalente ad $(n-1)^{2}$ rette comuni); 2.° la direttrice curvilinea (semplice) $K$; 3.° $n-1$ generatrici (semplici) situate nel piano $P$. Tutte queste linee, insieme prese, equivalgono ad una linea dell’ordine $(n-1)^{2}+2(n-1)$. Quindi due superficie gobbe (dell’ordine $n$) determinate da due rette $R$, $S$, nel piano $P$, avranno inoltre in comune una retta; la quale evidentemente unisce il punto $a$ d’intersezione delle $R$, $S$ col corrispondente punto $a'$, comune alle due curve che nel piano $P'$ corrispondono alle rette $R$, $S$.

Se la retta $R$ passa pel punto $d$ in cui $D$ incontra il piano $P$, è evidente che la relativa superficie rigata si decompone nel cono che ha il vertice in $d$ e per direttrice la curva $K$, e nel piano che contiene le rette $D$, $R$.

Se la retta $R$ passa per uno de’ punti $k$ comuni al piano $P$ ed alla curva $K$, la relativa superficie rigata si decompone nel piano che contiene il punto $k$ e la retta $D$, e nella superficie gobba d’ordine $n-1$, avente per direttrici $K,D,R$.

Se la retta $R$ passa per due dei punti $k$, la relativa superficie rigata si decomporrà in due piani ed in una superficie gobba d’ordine $n-2$.

Ed è anche facilissimo il vedere che una curva qualunque $C$, d’ordine $\mu$, data nel piano $P$, dà luogo ad una superficie gobba d’ordine $n\mu$, per la quale $D$ è multipla secondo $\mu (n-1)$ e $K$ è multipla secondo $\mu$. Quindi alla curva $C$ corrisponderà nel piano $P'$ una linea d’ordine $n\mu$, avente: 1.° un punto multiplo secondo $\mu (n-1)$, sopra $D$; 2.° $n-1$ punti multipli secondo $\mu$, sopra $K$; 3.° $n-1$ punti multipli secondo $\mu$, sulla retta comune intersezione dei piani $P$, $P'$.

Applicando alle cose dette precedentemente il principio di dualità, otterremo due figure: l’una composta di rette e di piani passanti per un punto $o$; l’altra di rette e piani passanti per un altro punto $o'$. E le due figure avranno fra loro tale relazione, che a ciascun piano dell’una corrisponderà un solo piano nell’altra e viceversa; ed alle rette di una qualunque delle due figure corrisponderanno nell’altra superficie coniche della classe $n$, aventi in comune $x_{1},\,x_{2},\dots x_{n-1}$ piani tangenti semplici e multipli. I numeri $x_{1},\,x_{2},\dots x_{n-1}$ saranno connessi fra loro dalle stesse equazioni (1) e (2).

In particolare poi, per dedurre una figura dall’altra, potremo assumere come direttrici una retta $D$ ed una superficie sviluppabile $K$ della classe $n-1$, la quale abbia $n-2$ piani tangenti passanti per $D$. Allora, dato un piano qualunque $\pi$ per $o$, il quale