Pagina:Opere matematiche (Cremona) II.djvu/65

sulle trasformazioni geometriche delle figure piane.

59

$q$ punti multipli secondo $p$, e sono le intersezioni del piano $P'$ colla linea direttrice d’ordine $q$ (perchè analogamente questa è multipla secondo $p$ sulla superficie gobba);

$pq$ punti semplici nelle intersezioni della retta comune ai piani $P$, $P'$, colle rette che dai punti ove la direttrice d’ordine $p$ sega il piano $P$, vanno ai punti ove l’altra direttrice sega lo stesso piano.

Questi $p+q+pq$ punti non variano, variando $R$, cioè sono comuni a tutte le curve d’ordine $n$, del piano $P'$, corrispondenti alle rette del piano $P$. Dunque avremo:

$x_{1}=pq$, $x_{p}=q$, $x_{q}=p$

e gli altri $x$ saranno eguali a zero: così che le equazioni (1) e (2) daranno, avuto riguardo alla prima delle (6):

$p+q=n$.

E questa, combinata colla medesima prima delle (6), somministra:

$p=n-1$, $q=1$.

Ciò significa che delle due direttrici, l’una sarà una curva dell’ordine $n-1$ e l’altra una retta, le quali abbiano $n-2$ punti comuni. Questa condizione può essere verificata da una retta e da una curva piana d’ordine $n-1$ (non situate in uno stesso piano), purché questa abbia un punto multiplo secondo il numero $n-2$, e la retta direttrice passi per questo punto multiplo.

Del resto, la direttrice dell’ordine $n-1$ può essere una curva gobba; perchè, a cagion d’esempio, sulla superficie di un iperboloide si può descrivere¹ una curva gobba $K$ dell’ordine $n-1$, la quale sia incontrata da ciascuna delle generatrici di uno stesso sistema in $n-2$ punti (e per conseguenza da ciascuna generatrice dell’altro sistema in un solo punto). Potremo dunque assumere tale curva gobba ed una generatrice $D$ del primo sistema come direttrici della trasformazione.

In questa trasformazione, ad ogni punto $a$ del piano $P$ corrisponde un solo punto $a'$ del piano $P'$ e reciprocamente. Il qual punto $a'$ si determina così. Il piano condotto pel punto $a$ e per la retta $D$ incontra la curva $K$ in un solo punto, all’ infuori della retta medesima $D$: questo punto congiunto con $a$ somministra una retta che incontra il piano $P'$ nel richiesto punto $a'$.

Se $R$ è una retta qualunque nel piano $P$, la superficie gobba (d’ordine $n$) che ha per direttrici le linee $K,D,R$, sega il piano $P'$ secondo la curva (d’ordine $n$) corrispondente ad $R$. Tutte le curve che analogamente corrispondono a rette hanno in comune

1. Comptes rendus de l’Acad. de France, 24 juin 1861. [Queste Opere, n. 30 (t. 1.°)].