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sulle trasformazioni geometriche delle figure piane.

entrambe; e considero come corrispondenti i punti ne’ quali questa retta incontra i piani $P$ e $P'$.

Siano $p$, $q$ gli ordini delle due linee direttrici, ed $r$ il numero dei punti ad esse comuni. Assunto un punto arbitrario $o$ dello spazio come vertice di due coni, le direttrici dei quali siano le due linee anzidette, gli ordini di questi coni saranno $p$, $q$, epperò avranno $pq$ generatrici comuni. Del numero di queste sono le rette che uniscono $o$ cogli $r$ punti comuni alle due linee direttrici; e le rimanenti $pq-r$ generatrici comuni ai due coni saranno per conseguenza le rette che da $o$ si possono condurre ad incontrare sì l’una che l’altra linea direttrice. Ma le rette dotate di tale proprietà voglionsi ridotte ad una sola; dunque dev’essere:

4)

$pq-r=1$.

D’altronde, ad una retta qualunque $R$ situata in uno de’ piani $P$, $P'$, dee corrispondere nell’altro una curva d’ordine $n$; cioè una retta mobile che incontri costantemente la retta $R$ e le due direttrici d’ordine $p$, $q$, deve generare una superficie gobba d’ordine $n$. Si cerchi adunque l’ordine della superficie generata da una retta che si muova appoggiandosi sopra tre direttrici date, la prima delle quali sia una retta $R$, e le altre due, d’ordine $p$, $q$, abbiano $r$ punti comuni.

Il numero delle rette che incontrano tre rette date ed una linea d’ordine $p$ è $2p$: tanti essendo i punti comuni alla linea d’ordine $p$ ed all’iperboloide che ha per direttrici le tre rette date. Ciò torna a dire che $2p$ è l’ordine di una superficie gobba le direttrici della quale siano due rette ed una linea d’ordine $p$. Questa superficie è incontrata dalla linea d’ordine $q$ in $2pq-r$ punti non situati sulla linea d’ordine $p$.

Dunque l’ordine della superficie gobba che ha per direttrici una retta e le linee d’ordine $p$, $q$, aventi $r$ punti comuni, è $2pq-r$. Epperò dovremo avere:

5)	$2pq-r=n$.

Dalle equazioni (4) e (5) si ricava intanto:

6)	$pq=n-1$, $r=n-2$.

Supposta la retta $R$ situata nel piano $P$, consideriamo la corrispondente curva d’ordine $n$ posta nel piano $P'$, cioè l’intersezione di questo piano colla superficie gobba d’ordine $2pq-r$ dianzi accennata. La curva, della quale si tratta, avrà:

$p$ punti multipli secondo $q$: essi sono le intersezioni del piano $P'$ colla linea direttrice d’ordine $p$ (infatti da ogni punto di questa linea si ponno condurre $q$ rette ad incontrare l’altra linea direttrice e la retta $R$, ossia la linea direttrice d’ordine $p$ è multipla secondo $q$ sulla superficie gobba);