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56 sulle trasformazioni geometriche delle figure piane.

entrambe; e considero come corrispondenti i punti ne’ quali questa retta incontra i piani e .

Siano , gli ordini delle due linee direttrici, ed il numero dei punti ad esse comuni. Assunto un punto arbitrario dello spazio come vertice di due coni, le direttrici dei quali siano le due linee anzidette, gli ordini di questi coni saranno , , epperò avranno generatrici comuni. Del numero di queste sono le rette che uniscono cogli punti comuni alle due linee direttrici; e le rimanenti generatrici comuni ai due coni saranno per conseguenza le rette che da si possono condurre ad incontrare sì l’una che l’altra linea direttrice. Ma le rette dotate di tale proprietà voglionsi ridotte ad una sola; dunque dev’essere:

4)
.

D’altronde, ad una retta qualunque situata in uno de’ piani , , dee corrispondere nell’altro una curva d’ordine ; cioè una retta mobile che incontri costantemente la retta e le due direttrici d’ordine , , deve generare una superficie gobba d’ordine . Si cerchi adunque l’ordine della superficie generata da una retta che si muova appoggiandosi sopra tre direttrici date, la prima delle quali sia una retta , e le altre due, d’ordine , , abbiano punti comuni.

Il numero delle rette che incontrano tre rette date ed una linea d’ordine è : tanti essendo i punti comuni alla linea d’ordine ed all’iperboloide che ha per direttrici le tre rette date. Ciò torna a dire che è l’ordine di una superficie gobba le direttrici della quale siano due rette ed una linea d’ordine . Questa superficie è incontrata dalla linea d’ordine in punti non situati sulla linea d’ordine .

Dunque l’ordine della superficie gobba che ha per direttrici una retta e le linee d’ordine , , aventi punti comuni, è . Epperò dovremo avere:

5)
.
Dalle equazioni (4) e (5) si ricava intanto:
6)
, .

Supposta la retta situata nel piano , consideriamo la corrispondente curva d’ordine posta nel piano , cioè l’intersezione di questo piano colla superficie gobba d’ordine dianzi accennata. La curva, della quale si tratta, avrà:

punti multipli secondo : essi sono le intersezioni del piano colla linea direttrice d’ordine (infatti da ogni punto di questa linea si ponno condurre rette ad incontrare l’altra linea direttrice e la retta , ossia la linea direttrice d’ordine è multipla secondo sulla superficie gobba);