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Se $o_{r}'$ è un punto principale della seconda figura, la retta $po_{r}'$ contiene $r$ punti della prima corrispondenti ad $o_{r}'$; la curva ${\mathfrak {P}}$ passerà per questi $r$ punti, cioè per le intersezioni di $po_{r}'$ colla curva principale che corrisponde ad $o_{r}'$.

I punti ove una retta $R$, considerata nella prima figura, taglia la corrispondente curva d’ordine $n$ sono nella seconda figura gli omologhi di quelli (della prima) ove $R$, considerata nella seconda, incontra la curva che le corrisponde nella prima. Dunque la curva ${\mathfrak {P}}$ anzidetta è anche il luogo delle intersezioni delle rette passanti per $p$, considerate nella seconda figura, colle corrispondenti curve della prima figura (26).

I punti omologhi a quelli della curva ${\mathfrak {P}}$, considerata nella prima figura, sono in un’altra curva ${\mathfrak {P}}'$, luogo dei punti della seconda figura che uniti ai corrispondenti della prima danno delle rette passanti per $p$, ossia luogo delle intersezioni delle rette passanti per $p$, considerate nella prima figura, colle corrispondenti curve della seconda.

Ogni retta passante per $p$ taglia le due curve ${\mathfrak {P}},{\mathfrak {P}}'$ in due sistemi di $n$ punti corrispondenti.

29. Sia $q$ un altro punto qualunque del piano, e ${\mathfrak {Q}}$ la curva che dipende da $q$ come ${\mathfrak {P}}$ da $p$. Gli $n$ punti ove la retta $pq$, considerata nella seconda figura, incontra la corrispondente curva della prima appartengono evidentemente ad entrambe le curve ${\mathfrak {P}},{\mathfrak {Q}}$, come anche alle curve analoghe relative agli altri punti della retta $pq$. Le due curve ${\mathfrak {P}},{\mathfrak {Q}}$ si segano inoltre nei punti principali della prima figura, ciò che costituisce $\sum r^{2}x_{r}=n^{2}-1$ intersezioni; esse avranno dunque altri $(n+1)^{2}-n-(n^{2}-1)=n+2$ punti comuni, ciascun de’ quali unito al punto omologo della seconda figura dovrebbe dare una retta passante sì per $p$ che per $q$. Questi $n+2$ punti coincidono necessariamente coi propri corrispondenti, cioè il sistema delle due figure ammette $n+2$ punti doppi.

Tutte le curve analoghe a ${\mathfrak {P}},{\mathfrak {Q}}$ e relative ai punti del piano formano una rete¹,

1. <Il dott. Guccia mi fa giustamente osservare che questa dimostrazione non è rigorosa perchè gli $n+2$ punti uniti delle due figure non sono indipendenti dai punti principali. Per dimostrare che quelle curve formano una rete basta osservare che per due punti $a,b$ passa una sola curva: infatti se $a',b'$ sono i punti della 2.^a figura corrispondenti ad $a,b$, la curva che deve passare per $a,b$, deve corrispondere ad un punto allineato con $aa'$ e con $bb'$ ossia air (unico) punto d’intersezione di $aa'$ con $bb'$. Soltanto se $aa'$, $bb'$ coincidono in una sola retta, si hanno infinite curve corrispondenti ai punti di questa retta, le quali formano un fascio, avendo in comune $n$ punti di questa retta. La rete non è omaloide; infatti le curve non sono razionali il loro genere essendo ${\tfrac {1}{2}}\left((n+1)^{2}-3(n+1)+2\right)-\sum {\tfrac {1}{2}}i(i-1)\alpha _{i}=$ $={\tfrac {1}{2}}n(n-1)-{\tfrac {1}{2}}(n-1)(n-2)=n-1$. Si ha così un’ involuzione di grado $n$, ogni gruppo della quale è formato da $n$ punti in linea retta. Assunto un punto $a$, e riguardato come appartenente alla 1.^a figura, sia $a'$ il corrispondente nella 2.^a, allora le intersezioni di $aa'$, riguardata come retta della 2.^a figura, colla curva corrispondente d’ordine $n$ nella 1.^a figura, tra le quali intersezioni è $a$, sono gli $n$ punti di un gruppo dell’involuzione. (Novembre 1884)>