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Noi non protrarremo più oltre, per ora, la ricerca delle soluzioni delle equazioni (1), (2), e passeremo invece alla dimostrazione di altre proprietà generali delle reti che sodisfanno a quelle equazioni medesime.

25. Se si getta uno sguardo sulle coppie di soluzioni coniugate ottenute sin qui, si scorgerà che le $x$ di una soluzione qualunque sono eguali alle $x$ della soluzione coniugata, prese in ordine differente. Vediamo se questa proprietà debba verificarsi necessariamente in ogni caso.

Consideriamo la rete nel piano $P$ e le $y_{1}$ rette che fanno parte della Jacobiana. Siccome queste rette si segano fra loro esclusivamente ne' punti principali (11), i quali a due a due devono appartenere alle rette medesime, così non può aver luogo che uno de' seguenti due casi:

1.° $y_{1}=3$; le tre rette principali sono i lati di un triangolo i cui vertici sono punti principali, d'egual grado di moltiplicità e soli in quel grado (per legge di simmetria). Dunque uno de' numeri $x$ sarà $=3$, cioè $=y_{1}$.

2.° $y_{1}$ qualunque $>1$, compreso 3. Le $y_{1}$ rette passano tutte per uno stesso punto principale $a$ (unico nel suo grado di moltiplicità) ed inoltre rispettivamente per altri punti principali $b_{1},b_{2},\dots ,$ egualmente multipli e soli nel loro grado. Il numero $x$ di questi punti $b_{1},b_{2}$, ... sarà dunque $=y_{1}$¹.

Le $y_{2}$ coniche che fanno parte della Jacobiana possono dar luogo ai casi seguenti:

1.° $y_{2}$ qualunque $>1$; le $y_{2}$ coniche hanno quattro punti comuni ed inoltre passano rispettivamente per uno de' punti principali $b_{1},b_{2}$,..., egualmente molteplici, il numero $x$ de' quali sarà $=y_{2}$.

2.° $y_{2}=\nu +1$ ove $\nu$ ha uno de' valori seguenti: $2,3,4,5$. Le $\nu +1$ coniche hanno $5-\nu$ punti comuni e passano inoltre rispettivamente per $\nu$ de' $\nu +1$ punti principali $b_{1},b_{2},\dots b_{\nu +1}$ egualmente molteplici e soli nel loro grado: onde il numero $x$ de' medesimi è eguale ad $y_{2}$.

Le $y_{3}$ curve principali del terz'ordine offrono i seguenti casi possibili:

1.° $y_{3}$ qualunque $>1$; le $y_{3}$ cubiche hanno in comune il punto doppio e cinque altri punti, e passano poi rispettivamente per uno de' punti principali $b_{1},b_{2}$,... egualmente molteplici, il numero $x$ de' quali sarà eguale ad $y_{3}$.

2.° $y_{3}$ qualunque $>1$; le cubiche hanno sei punti comuni, ed il punto doppio in uno de' punti principali $b_{1},b_{2}$, ... egualmente molteplici, il numero $x$ de' quali sarà eguale ad $y_{3}$.

1. Pei due punti principali situati in una retta principale devono evidentemente passare tutte le curve principali. Dunque, se $y_{1}>2r$, non vi può essere una curva principale d'ordine $r$, cioè $y_{r}=0$.