Pagina:Opere matematiche (Cremona) II.djvu/215

ossia

$x_{1}+x_{2}=5,\quad x_{2}+3x_{3}=2n-5$;

onde si hanno i sei seguenti sistemi:

$x_{1}=1$,	$x_{2}=4$,	$x_{3}={\frac {2n-9}{3}}$,	$x_{n-3}=1$,
$x_{1}=4$,	$x_{2}=1$,	$x_{3}={\frac {2n-6}{3}}$,	$x_{n-3}=1$,
$x_{1}=2$,	$x_{2}=3$,	$x_{3}={\frac {2n-8}{3}}$,	$x_{n-3}=-1$,
$x_{1}=5$,	$x_{2}=0$,	$x_{3}={\frac {2n-5}{3}}$,	$x_{n-3}=-1$,
$x_{1}=0$,	$x_{2}=5$,	$x_{3}={\frac {2n-10}{3}}$,	$x_{n-3}=1$,
$x_{1}=3$,	$x_{2}=2$,	$x_{3}={\frac {2n-7}{3}}$,	$x_{n-3}=1$;

de' quali i primi due risolvono le equazioni (1), (2) nel caso che $n$ sia divisibile per $3$; il terzo ed il quarto quando $n$ sia della forma $3\mu +1$, e gli ultimi due nel caso che $n$ sia della forma $3\mu +2$.

Nel primo sistema, le curve della rete hanno in comune un punto semplice $o$, quattro punti doppi $d_{1}d_{2}d_{3}d_{4}$, ${\tfrac {2n}{3}}-3$ punti tripli $t_{1}t_{2}\dots t_{{\tfrac {2n}{3}}-3}$ ed un punto $(n-3)$^plo $a$; e la Jacobiana è composta

1.° delle ${\tfrac {2n}{3}}-3$ rette $a(t_{1},\dots t_{{\tfrac {2n}{3}}-3})$;

2.° delle quattro curve

$a^{{\tfrac {n}{3}}-1}t_{1}t_{2}\dots t_{{\tfrac {2n}{3}}-3}(d_{2}d_{3}d_{4},d_{1}d_{3}d_{4},d_{1}d_{2}d_{4},d_{1}d_{2}d_{3})$

d'ordine ${\tfrac {n}{3}}$;

3.° della curva $a^{\tfrac {n}{3}}t_{1}t_{2}\dots t_{{\tfrac {2n}{3}}-3}d_{1}d_{2}d_{3}d_{4}o$ d'ordine ${\tfrac {n}{3}}+1$; e

4.° della curva $a^{{\tfrac {2n}{3}}-3}t_{1}^{2}t_{2}^{2}\dots t_{{\tfrac {2n}{3}}-3}^{2}d_{1}d_{2}d_{3}d_{4}o$ d'ordine ${\tfrac {2n}{3}}--1$.

Nel secondo sistema, le curve della rete hanno in comune quattro punti semplici $o_{1}o_{2}o_{3}o_{4}$, un punto doppio $d$, ${\tfrac {2n}{3}}-2$ punti tripli $t_{1}t_{2}\dots t_{{\tfrac {2n}{3}}-2}$ ed un punto $(n-3)$^plo $a$. Della Jacobiana fanno parte le linee seguenti:

1.° le ${\tfrac {2n}{3}}-2$ rette $a(t_{1},t2,\dots t_{{\tfrac {2n}{3}}-2})$;

2.° la curva $a^{{\tfrac {n}{3}}-2}t_{1}t_{2}\dots t_{{\tfrac {2n}{3}}-2}$ d'ordine ${\tfrac {n}{3}}-1$;