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sono perfettamente reciproche: ossia che le soluzioni delle equazioni (1), (2) sono coniugate a due a due nel modo seguente:

Se le curve d’ordine di una rete hanno in comune punti semplici, punti doppi, ... punti pli, ... punti pli, ove è una soluzione delle equazioni (1), (2), allora la Jacobiana della rete è composta di rette, coniche , ... curve d’ordine , ... ed curve d’ordine , ove è un altra soluzione delle medesime equazioni (1), (2). Inoltre questa seconda soluzione è tale che, se si considera una rete di curve d’ordine aventi in comune punti semplici, punti doppi, ... punti pli, ... ed punti pli, la Jacobiana di questa seconda rete sarà composta di rette, coniche, ... curve d’ordine , ... ed curve d’ordine .1

Le due soluzioni , definite nel precedente enunciato si chiameranno soluzioni coniugate. Esse sodisfanno alle relazioni seguenti

,

,

,


ma sono poi meglio caratterizzate da un’altra proprietà che sarà dimostrata in seguito.

13. Esaminiamo ora alcuni casi particolari. Sia , cioè la rete sia formata da coniche passanti per tre punti . La Jacobiana è costituita dalle tre rette , , , infatti un punto qualunque della retta è doppio per una conica della rete, composta delle due rette , ; ecc.

Ad corrisponde adunque , ossia le equazioni (1), (2) ammettono in questo caso una (sola) coppia di soluzioni coniugate che coincidono in una soluzione unica.

14. Sia ; le (|1), (2) danno , , cioè la rete sia formata da cubiche aventi in comune un punto doppio e quattro punti ordinari . La Jacobiana si compone della conica e delle quattro rette . Infatti, un punto

  1. Questo teorema è stato comunicato dal ch. sig. Hirst, a mio nome, all'Associazione Britannica pel progresso delle scienze (in Bath, 19 settembre 1864). Vedi the Reader, 1 october 1864, p. 418. [Queste Opere, n. 60].