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fascio di curve della rete (in uno de’ piani dati) vi sono $2(r-1)$ curve ciascuna delle quali ha, in un dato punto principale di grado $r$, due rami toccati da una stessa retta.

La curva principale $C_{r}$ ha poi $3(r-2)$ flessi e $2(r-2)(r-3)$ tangenti doppie; dunque la rete (di uno qualunque de’ piani dati) conta $3(r-2)$ curve ciascuna delle quali ha tre rami toccati da una stessa tangente in un dato punto principale di grado $r$; e la rete medesima conta $2(r-2)(r-3)$ curve che in questo punto hanno due rami toccati da una retta e due altri rami toccati da una seconda retta.

10. Essendo $2(r-1)$ la classe di una curva principale d’ordine $r$, la classe della Jacobiana (in una qualunque delle due reti) sarà $2\sum (r-1)y_{r}$ ossia $6(n-1)-2\sum x_{r}$ in virtù delle (7), (6).

La classe della Jacobiana si trova anche dietro la conoscenza del suo ordine che è $3(n-1)$, e de’suoi punti multipli che equivalgono a $\sum {\tfrac {(3r-1)(3r-2)}{2}}x_{r}$ punti doppi. Si ha così

$3(n-1)(3n-4)-\sum (3r-1)(3r-2)x_{r}=6(n-1)-\sum x_{r}$,

equazione identica in virtù delle (2), (8).

11. Siccome quei punti di una curva principale del piano $P$, che non sono punti principali di questo piano, corrispondono tutti ad un solo punto principale dell’altro piano, così tutte le intersezioni di due curve principali sono necessariamante punti principali. Ne segue che se due date curve principali d’ordini $r,s$ passano l’una $\rho$ volte, l’altra $\sigma$ volte per uno stesso punto principale, la somma dei prodotti analoghi a $\rho \sigma$ e relativi a tutt’i punti principali del piano sarà eguale ad $rs$.

Analogamente una curva principale ed una curva d’ordine $n$ della rete (nello stesso piano) non si segano altrove che ne’ punti principali: infatti, se una curva della rete passa per un punto di una curva principale che non sia un punto principale, essa si decompone in due curve, una delle quali è la curva principale medesima. Dunque, se una data curva principale d’ordine $r$ passa $\rho$ volte per un punto principale di grado $s$, la somma dei prodotti analoghi a $\rho s$ e relativi ai punti principali del piano è eguale ad $rn$.

Donde si conclude, in virtù di una proprietà già notata (7):

Se una curva principale passa rispettivamente $\rho ,\sigma$ volte per due dati punti principali i cui gradi siano $r,s$, la somma dei prodotti analoghi a $\rho \sigma$ e relativi a tutte le curve principali del piano è eguale ad $rs$.

Se una curva principale d’ordine $s$ passa $\rho$ volte per un dato punto principale di grado $r$, la somma dei prodotti analoghi a $\rho s$ e relativi a tutte le curve principali del piano è eguale ad $rn$.

12. Le equazioni (1), (2), (3), (4) manifestano che le proprietà dei due piani $P,P'$