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le curve del quint’ordine un punto quadruplo, o un punto triplo e tre punti doppi, o sei punti doppi; ecc.

5. Un fascio di rette nel piano $P'$, le quali passino per un punto qualsivoglia dato, contiene $y_{r}$ raggi diretti ai punti principali di grado $r$; quindi il fascio delle corrispondenti curve della rete, nel piano $P$, conterrà $y_{r}$ curve, ciascuna composta di una curva principale d’ordine $r$ e di un’altra curva d’ordine $n-r$. Se vogliamo calcolare i punti doppi del fascio, osserviamo¹ che un punto $(r)$^plo comune a tutte le curve del fascio conta per $(r-1)(3r+1)$ punti doppi: epperò tutt’i punti principali del piano $P$ equivalgono insieme a $\sum (r-1)(3r+1)x_{r}$ punti doppi. A questi dobbiamo aggiungere tanti punti doppi quante sono le curve composte (giacché le due curve componenti di ciascuna curva composta hanno un punto comune oltre ai punti principali), cioè quanti sono i punti principali del piano $P'$, ossia $\sum y_{r}$. D’altronde il numero totale dei punti doppi d’un fascio di curve d’ordine $n$ è $3(n-1)^{2}$; e siccome le curve della rete, avendo già ne’ punti principali il massimo numero di punti multipli, non possono avere un ulteriore punto doppio senza decomporsi in due curve separate, così avremo

$\sum (r-1)(3r+1)x_{r}+\sum y_{r}=3(n-1)^{2}$.

Ma le equazioni (1), (2) combinate insieme danno

5)	$\sum r(3r-2)x_{r}=3(n-1)^{2}$

cioè

$\sum (r-1)(3r-1)x_{r}+\sum x_{r}=3(n-1)^{2}$

dunque

6)	$\sum y_{r}=\sum x_{r}$

ossia le due reti nei piani $P$, $P'$ hanno lo stesso numero di punti principali.

6. Dal fatto che una curva della rete (nel piano $P$) non può avere, oltre ai punti principali, un altro punto doppio senza decomporsi in due curve una delle quali è una curva principale: nel qual caso poi il punto doppio ulteriore è l’intersezione delle curve componenti distinta dai punti principali; da questo fatto, io dico, si raccoglie evidentemente che le curve principali del piano $P$ sono il luogo dei punti doppi delle curve della rete in questo piano, ossia ne costituiscono la Jacobiana. Ciò combina anche colla equazione

7)	$\sum ry_{r}=3(n-1)$

che è una conseguenza delle (3), (4) e che esprime essere la somma degli ordini delle

1. Annali di Matematica, tom. VI, p. 156. [Queste Opere, n. 53].