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discorse,

3)	$\sum {\frac {r(r+1)}{2}}y_{r}={\frac {n(n+3)}{2}}-2$,

4)	$\sum r^{2}y_{r}=n^{2}-1$.

3. Sia ora $L_{n}$ una data curva della rete in $P$; $L'$ la corrispondente retta in $P'$; ed $o$ uno de’ punti principali pel quale $L_{n}$ passi $r$ volte. Se intorno ad $o$ facciamo girare (nel piano $P$) una retta $M$, su di essa avremo $n-r$ punti variabili della curva $L_{n}$, le altre $r$ intersezioni essendo fisse e riunite in $o$. La curva variabile $M_{n}'$ corrispondente (in $P'$) alla retta $M$ segherà per conseguenza la retta data $L'$ in $n$ punti de’ quali $n-r$ soltanto varieranno col variare della curva medesima. Dunque $M_{n}'$ è composta di una curva fissa d’ordine $r$ e di una curva variabile d’ordine $n-r$. I punti della curva fissa corrispondono tutti al punto principale $o$; ed al fascio delle rette condotte per $o$ nel piano $P$ corrisponderà in $P'$ un fascio di curve d’ordine $n-r$, ciascuna delle quali accoppiata colla curva fissa d’ordine $r$ dà una curva d’ordine $n$ della rete.

Analogamente ad ogni punto principale $(r)$^plo in $P'$ corrisponderà in $P$ una certa curva d’ordine $r$; cioè ad una retta variabile in $P'$ intorno a quel punto corrisponderà nell’altro piano una linea composta d’una curva variabile d’ordine $n-r$ e d’una curva fissa d’ordine $r$.

Si chiameranno curve principali <fondamentali> le curve di un piano ($P$ o $P'$) che corrispondono ai punti principali dell’altro piano ($P'$ o $P$).

4. In sostanza, i punti di una curva principale nell’uno de’ due piani corrispondono ai punti infinitamente vicini al corrispondente punto principale nell’altro piano¹. Donde segue che le due curve, l’una principale d’ordine $r$, l’altra d’ordine $n-r$, che insieme compongono la curva corrispondente ad una retta $R$ passante per un punto principale $o$ di grado $r$, hanno, oltre ai punti principali, un solo punto comune, il quale è quel punto della curva principale che corrisponde al punto di $R$ infinitamente vicino ad $o$. E ne segue inoltre che una curva principale, considerata come una serie di punti, è projettiva ad un fascio di rette o, ciò che torna lo stesso, ad una retta punteggiata. Le curve principali hanno dunque la proprietà, del pari che le curve delle reti ne’ due piani, di avere il massimo numero di punti multipli che possano appartenere ad una curva di dato ordine². Così fra le curve principali, le cubiche avranno un punto doppio; le curve del quart’ ordine un punto triplo o tre punti doppi;

1. <Da ciò segue che le curve fondamentali sono di genere zero.>
2. Clebsch, Ueber diejenigen ebenen Curven, deren Coordinaten rationale Functionen eines Parameters sind (Giornale di Crelle-Borchardt, t. 64, p. 43, Berlin 1864).