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come l’intersezione di due rette (che per semplicità si potranno condurre rispettivamente per due de’ punti dati) ed assumendo la curva comune ai due fasci relativi alle rette medesime.

15. Per tal modo ad un punto $a$ corrisponde una certa curva $A$ della rete (comune a tutti i fasci relativi alle rette che passano per $a$), e viceversa ad una curva $A$ della rete corrisponde un punto individuato $a$ (comune a tutte le rette i cui fasci corrispondenti contengano la curva $A$).

Tutte le curve della rete che passano per uno stesso punto $a$ formano un fascio, epperò corrispondono ai punti di una certa retta $R$; e reciprocamente questa retta contiene i punti corrispondenti a quelle curve della rete che passano per certi $n^{2}$ punti fissi, uno de’ quali è $a$. Onde possiamo dire che ad un punto qualunque $a$ corrisponde una certa retta $R$ (luogo de’ punti le cui curve corrispondenti $A$ passano per $a$); ma viceversa ad una retta $R$, fissata ad arbitrio, corrispondono $n^{2}$ punti (costituenti la base del fascio delle curve $A$ corrispondenti ai punti di $R$).

Dunque ad un punto del piano corrispondono una curva $A$ della rete ed una retta, e viceversa ad una curva della rete corrisponde un punto individuato, mentre ad una retta corrispondono $n^{2}$ punti. E dalle cose precedenti segue:

Se la curva $A$ di un punto $a$ passa per un altro punto $a'$, viceversa la retta $R$ di $a'$ passa per $a$; e reciprocamente.

16. Quale è il luogo dei punti che giacciono nelle rispettive curve $A$, ovvero (ciò che è la medesima cosa, in virtù del teorema precedente) nelle corrispondenti rette $R$? Sia $T$ un’arbitraria trasversale: ad un punto $a$ di questa corrisponde una curva $A$ che sega $T$ in $n$ punti $a'$. Viceversa, se si prende ad arbitrio in $T$ un punto $a'$, le curve $A$ passanti per $a'$ corrispondono ai punti di una retta $R$, che incontra $T$ in un punto $a$. Cioè ad un punto $a$ corrispondono $n$ punti $a'$, e ad un punto $a'$ corrisponde un punto $a$; epperò la trasversale $T$ contiene $n+1$ punti del luogo di cui si tratta. Dunque:

Il luogo di un punto situato nella corrispondente curva $A$ è una curva $K$ d’ordine $n+1$.

Quale è l’inviluppo delle rette $R$ che contengono uno de’ loro punti corrispondenti? Sia $a$ un punto arbitrario; le rette passanti per $a$ hanno i loro punti corrispondenti situati nella curva $A$ del punto $a$, la quale sega la curva $K$ (del teorema precedente) in $n(n+1)$ punti; ciascuno de’ quali corrisponde alla retta $R$ che lo unisce ad $a$. Dunque:

L’inviluppo di una retta $R$ che passi per uno degli $n^{2}$ punti che le corrispondono è una curva $H$ della classe $n(n+1)$.

Il punto $a$ apparterrà ad $H$, se due di quelle rette che uniscono $a$ alle intersezioni di $A$ e $K$ coincidono, cioè se $A$ tocca $K$; dunque:

La curva $H$ è l’inviluppo delle rette $R$ che corrispondono ai punti della curva $K$, ed è anche il luogo dei punti ai quali corrispondono curve $A$ che tocchino $K$.