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SULLA TEORIA DELLE CONICHE. 97
Teorema 5.0 Vi sono 2nn1(nn1— ]— n+np— — 1) coniche passanti per due punti dati e tangenti ad una retta e a due carne dbrdini n,n1, date.
Questo numero è precisamente eguale a 2nn1(n+ 1)(n1+1) diminuito di 4nn1.
4. I teoremi 3.0 e 5.0 fanno conoscere di quale indice sia la serie delle coniche passanti per due punti e tangenti a due curve date, e quante coniche di questa serie siano anche tangenti ad una retta data; dunque il teorema 1.0 darà:
Teorema 6.0 Vi sono n n1n2(nI11ng+n1n2— {— n2n+nn1+n+n1+n2— — 3) coniche pas- santi per due pzinti dati e tangenti a tre carne dbrdini n,n1,n2, date.
5. Applicando lo stesso teorema 1.0 alla serie (d’indice 4) delle coniche passanti per un punto dato e tangenti a tre rette date, nella quale sappiamo esservi due co- niche tangenti ad una quarta retta, si ottiene:
Teorema 7 .° Vi sono 2n(2n— 1) coniche passanti per un pnnto dato e tangenti a tre rette e ad nna carpa d’ordine n, date.
Pel teorema 4.0 e pel 7.0 si conoscono i numeri M, M’ :relativi alla serie delle co- niche che passano per un punto dato e toccano due rette ed una curva data; dunque (teorema 1.0):
Teorema 8.” Vi sono 2nn1(2nnl— — l) coniche passanti per nn pianto dato e tangenti a due rette e a rtae curve d’orolini n,n,, date.
Così dai teoremi 5.0 ed 8.0 si conclude:
Teorema 9.0 Vi sono 2h n1n2(n n1n2— i— (n1n2— l— n2n+nn1)— — (n+n1+ coniche pas- santi per un punto dato e tangenti ad nna retta e a tre carne (Wordini n,n1,n2, date.
E dai teoremi 6.0 e 9.0:
Teorema 10.0 Vi sono n n1n2n3(n n1n2n3+r (n1n2n3— l— n2n3n+n3n1n+n1n2n)— l-(nn1— {— n2n3 — ]— nn2— {— n3n1 +nn3+ n1n2)— — — 3(11— }— n1+n2+n3)+3) coniche passanti per un pianto dato e tangenti a quattro carne date ofordini n, nl, ng, H3.
6. ll teorema 9.0 manifesta che, per la serie delle coniche passanti per un punto e tangenti a tre curve, il valore ridotto di l ' è 2M— — n n1n2(4ri +4n1+4n2— — 6). Questa riduzione è dovuta in parte alle tangenti delle curve date, che concorrono nel punto dato, ed in parte alle rette che uniscono questo punto alle intersezioni delle curve me- desime, prese a due a due.
Se una retta condotta pel punto dato, a toccare una delle tre curve, incontra le altre due rispettivamente in a, b, il segmento ab conta per gztattro fra le coniche della serie passanti per un punto qualunque di quella retta [Q3]. Invece, se una retta con- dotta pel punto dato, ad un’ intersezione a di due curve,incontra la terza in b, il seg- mento ab tien luogo di due coniche della serie passanti per un punto arbitrario della retta medesima. ll numero totale de’ primi segmenti è n n1n2(n 0J; nl +n2— — — 3), e quello dei secondi è 3nn1n2: quindi il quadruplo del primo numero aggiunto al doppio del secondo da la riduzione da farsi a 2M per ottenere M’.
Cremona, tomo l I.
