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96 SULLA TEORIA DELLE CONICHE.
Teorema 1.° Se in nna serie di coniche d’indice M ce ne sono M’ tangenti ad una retta qualsivoglia, ce ne saranno M'n— }— Mn(n— — 1) tangenti ad una data cacca riordino n.
2. Il numero M’ è in generale eguale a 2M (Introol. 85); ma può ricevere una ridu- zione quando dalle coniche risolventi il problema si vogliano separare i sistemi di rette sovrapposte, che in certi casi vi figurano. Questo non può evidentemente accadere se le coniche della serie devono passare per quattro o per tre punti dati. Avendosi dunque per un fascio di coniche M=1, M’=2, il teorema 1.° dara:
Teorema 2.° Vi sono n(n+1) conio/io passanti per QMCLÉÉFO panta‘ dati e tangenti ad una data linea ctbrdine n.
Cioè le coniche passanti per tre punti dati e tangenti ad una curva d’ordine n formano una serie d’ indice n(n— (— 1), e ve ne sono 2n(n+ 1) tangenti ad una retta data. Quindi dallo stesso teorema 1.° si ricava:
Teorema 3.“ Vi sono nn1(n+1)(n1+ 1) coniche passanti per tre panti dati e tan- genti a due linee date ctbrdini n,n1.
Ossia, le coniche passanti per due punti (lati e tangenti a due curve date d’ or- dini n,n1, formano una serie d’ indice nn1(n— )— 1)(n1— |— 1). ln questo caso, siccome la retta che unisce i due punti dati, risguardata come un sistema di due rette coinci- denti, può ben rappresentare una conica della serie, tangente a qualsivoglia retta data, il valore 2M del numero M’ sarà. suscettibile di riduzione.
Per determinare tale riduzione, ricordiamo che le coniche passanti per due punti dati e tangenti a due rette date formano una serie d’ indice 4, nella quale, invece di otto, vi sono solamente quattro coniche (effettive) tangenti ad una terza retta. Se la retta che unisce i punti dati incontra le due rette date in a, b, il segmento ab, risguar- dato come una conica (di cui una dimensione è nulla) tangente alle rette date in a,b, riesce tangente anche a qualsivoglia terza retta; e, come tale, rappresenta quattro so- luzioni (coincidenti) del problema: descrivere pei due punti dati una conica tangente alle due rette date e ad una terza retta. È dunque naturale di pensare che, ove in luogo delle due rette date si abbiano due curve d’ordini n, nl, la riduzione del nu- mero 2M sia 4nn1; essendo nn, le coppie di punti in cui le curve date sono incon- trate dalla retta che passa pei punti dati. Accerteremo questa previsione.
3. Applicando il teorema 1.° alla serie delle coniche passanti per due punti e tan- genti a due rette date, si ha:
Teorema 4.° Vi sono 4n2 coniche passanti per otite punti dati e tangenti a otite rette e ad una curva dbrdine n, date.
Dal teorema 3.‘) si desume che le coniche passanti per due punti e tangenti ad una retta e ad una curva d’ ordine n formano una serie d’ indice 2n(n+1), nella quale, pel teorema 4.0, vi sono 4n2 coniche tangenti ad un’altra retta; dunque (teorema 1.°):
