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48. SULLA TEORIA DELLE CONICHE.
Gioroiale di Matematiche, volume II (1864), pp. 17-20 e p. 192.
1. Questa Nota fa seguito all’altra, sullo stesso argomento, inserita nel fascicolo di agosto 1868 di questo giornale (pag. 225). [92]
Proponendomi qui di ricercare il numero delle coniche che sodisfanno a cinque con- dizioni date (passare per punti dati o toccare curve date *)), premetto il seguente pro- blema (Introd. 87): quale è il luogo di cm pianto che abbia la stessa retta polare ri- spetto ad ima curva C), dhrdine ai e ad alcuna delle coniche cfima data serie d’ indice M ‘P
Per risolvere il quesito, cerchiamo quanti punti del luogo richiesto siano contenuti in una trasversale assunta ad arbitrio. Sia a. un punto qualunque della trasversale; A la retta polare di a rispetto a C”; e sia M’ l’ordine della linea luogo dei poli della retta A rispetto alle coniche della data serie (cioè ilnumero delle coniche della serie che toccano una data retta qualsivoglia (Introd. 86)), la qual linea segherà la trasver- sale in M’ punti a’. Reciprocamente, assunto ad arbitrio un punto a’ nella trasversale, le rette polari di a’ rispetto alle coniche anzidette formano (Introd. 84, b) una curva della classe M, la quale ha M(n— 1) tangenti comuni colla curva di classe 7’), — — — 1 , invi- luppo delle rette polari de’ punti della trasversale relative a C” (Introd. 81, a). Queste M(n— -« 1) tangenti comuni sono polari, rispetto a C”, d’altrettanti punti a della trasver- sale. Così ad ogni punto a corrispondono M’ punti a’, e ad ogni punto a’ corrispon- dono M(n— — 1) punti a; dunque vi saranno M'+M(n— — 1) punti a, ciascuno de’ quali coinciderà con uno de’ corrispondenti a’. Ne segue che il luogo cercato è una linea dell’ordine M'+M(n— — 1). I punti ove questa linea interseca C), sono evidentemente punti di contatto fra C” e alcuna delle coniche della serie; dunque:
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*) Le quali s’intenderanno affatto generali nel rispettivo ordine, cioè prive di punti mul- tipli, ed inoltre del tutto indipendenti, si fra loro, che riguardo agli altri dati della quistione.
