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intorno alle superficie della seconda classe ecc.

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ficie inscritte, dalla prima delle equazioni (1) sottraggo la (3) moltiplicata pel parametro indeterminato i. Ottiensi così la:

5)	At(t + 2w) + Bu(u + 2w) + Cv (v + 2w) + Dw2 = 0

ove:

A = α’(λ — i),     B = β’(μ — i),     C = γ’(ν — i),     D = α + β + γ

$\lambda ={\frac {\alpha }{\alpha '}}$     $\mu ={\frac {\beta }{\beta '}}$     $\nu ={\frac {\gamma }{\gamma '}}.$

L’equazione (5) per i = 0, λ, μ, ν, ∞ somministra le (1) e la (3).

4.º Il centro della superficie (5) è:

6)	At + Bu + Cv + Dw = 0

epperò, qualunque sia i, questo punto cade nella retta:

7)	α(t + w) + β(u + w) + γ(v + w) = 0,     α’t + β’u + γ’v = 0.

Le coordinate ordinarie del punto (6) sono:

${\frac {l\mathrm {A} }{\mathrm {D} }},$     ${\frac {m\mathrm {B} }{\mathrm {D} }},$     ${\frac {n\mathrm {C} }{\mathrm {D} }}$

dunque, se si indica con δ la distanza dei centri di due superficie del sistema (5), corrispondenti ai parametri i, j, avremo

$\delta ^{2}={\frac {(i-j)^{2}(l^{2}\alpha '^{2}+m^{2}\beta '^{2}+n^{2}\gamma '^{2}+2pmn\beta '\gamma '+2qnl\alpha '\gamma '+2rlm\alpha '\beta ')}{\mathrm {D} ^{2}}}$

ove p, q, r sono i coseni degli angoli fra gli assi; quindi se fissiamo come origine delle distanze da misurarsi sulla retta (7) il punto O corrispondente a j = 0, cioè il centro della prima conica (1), il parametro i relativo ad una superficie qualunque del sistema (5) sarà proporzionale alla distanza del suo centro dalla origine medesima. Riteniamo che i centri delle altre tre coniche (1) siano ordinatamente i punti P, Q, R situati da una stessa banda rispetto al punto O, e assumiamo come positive le distanze da O verso P, Q, R, ed i corrispondenti valori del parametro i. Allora avremo:

8)	λ > 0,     μ > 0,     ν > 0,     λ < μ < ν.

5.º Formo le funzioni dei coefficienti della equazione (5); dai segni delle quali dipende la specie della superficie di seconda classe rappresentata dall’equazione me-