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| intorno alle superficie della seconda classe ecc. | 83 |
Coordinaten), che sono state introdotte nella geometria analitica a tre dimensioni dal signor Chasles1 e dal Plücker medesimo2.
2.º È noto che la superficie sviluppabile della quarta classe che inviluppa due superficie della seconda classe contiene in generale quattro coniche; e i piani di queste formano un tale tetraedro (tetraedro polare), che ciascuna sua faccia è il piano polare del vertice opposto rispetto ad una qualunque delle infinite superficie della seconda classe inscritte nella sviluppabile. Assumo uno de’ vertici del tetraedro polare3 come origine, e gli spigoli in esso concorrenti come assi di ordinarie coordinate rettilinee oblique x, y, z. Sia:
l’equazione di un piano: le quantità , , , si denomineranno coordinate tangenziali del piano. — Un punto abbia per coordinate ordinarie a, b, c; se per esso passa un piano qualunque:
si avrà:
Quest’ultima equazione, nella quale si risguardino , , come le variabili coordinate di un piano, sara l’equazione del punto (a, b, c) in coordinate tangenziali.
Un’equazione qualunque fra le variabili , , , coordinate di un piano, rappresenterà la superficie inviluppata dal piano variabile. Se l’equazione conterrà tre sole delle quattro quantità t, u, v, w omogeneamente (ovvero se sarà omogenea rispetto a tre funzioni lineari omogenee delle t, u, v, w), essa rappresenterà una linea piana. Il sistema di due equazioni rappresenta la sviluppabile circoscritta alle due superficie rappresentate dalle singole equazioni.
Avendo assunto tre delle facce del tetraedro polare come piani coordinati, la quarta faccia determini sugli assi positivi tre segmenti l, m, n; allora le equazioni de’ quattro vertici del tetraedro polare saranno:
