 |
Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta. | |
| teoremi sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura. | 79 |
w = 0; e i lati omologhi si segano in tre punti posti nella retta:
la quale è la direttrice comune dei due piani congiunti. Si noti inoltre che il fuoco è il polo della direttrice rispetto alla conica (7). Riunendo insieme queste proprietà, possiamo enunciare il seguente teorema:
Dati due piani congiunti P, P’, in ciascuno di essi, per es. in P, esistono due triangoli, l’uno ABC inscritto nella cubica, l’altro a b c avente i lati ne’ piani osculatori concorrenti nel fuoco F’ dell’altro piano P’. I due triangoli ABC, a b c sono omologici; il loro centra d’omologia è il fuoco F del piano P, e l’asse d’omologia è la direttrice o comune intersezione de’ piani P, P’. La direttrice è la polare dei fuochi F, F’ rispetto alle coniche congiunte situate ne’ piani dati, e queste sono inscritte nei triangoli a b c, a’ b’ c’ determinate dalle due terne di piani osculatori. Le rette che in ciascuno de’ piani dati, per es. in P, uniscono i punti di contatto della rispettiva conica ai vertici opposti del triangolo circoscritto a b c sono situate nei piani osculatori che concorrono nel fuoco F dello stesso piano P.
10.º Le facce corrispondenti dei due triedri congiunti, formati dalle due terne di piani osculatori concorrenti ne’ fuochi de’ due piani congiunti, si segano secondo tre rette, le quali determinano l’iperboloide:
ovvero
ove:
3(y — z) — w = 3x’; 3(z — x) — w = 3y’; 3(x — y) — w = 3z’;
3(x + y + z) = w’.
Questo iperboloide passa evidentemente per le due coniche congiunte, dunque:
Le rette secondo le quali si segano le facce corrispondenti di due triedri congiunti e le rispettive coniche congiunte giacciono in uno stesso iperboloide. Le coniche congiunte sono le curve di contatto dell’iperboloide coi coni involventi che hanno i vertici ne’ fochi de’ piani congiunti.
Qualunque superficie di second’ordine circoscritta al tetraedro:
è rappresentabile coll’equazione:
