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| 78 | teoremi sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura. |
9.º Se prendiamo in considerazione due piani congiunti, essi danno luogo a figure abbastanza interessanti. Per conseguire formole più semplici e simmetriche faccio la seguente trasformazione di coordinate:
x = A, y = —ω3D, z = ω3D — 3ω2C + 3ωB — A,
w = 2A — 3ωB — 3ω2C + 2ω3D.
Le equazioni:
rappresentano due piani congiunti; le:
rappresentano i piani osculatori concorrenti nel fuoco del piano x + y + z = 0, e le:
sono quelle de’ piani osculatori concorrenti nel fuoco del piano w = 0. Ne’ due piani congiunti esistono le due coniche che ho denominate congiunte. Quella che è nel piano w = 0 è rappresentata dalle equazioni:
| 7) |
w = 0, x2 + y2 + z2 — 2yz — 2zx — 2xy = 0
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epperò questa conica è inscritta nel triangolo formato dalle rette secondo cui il piano w = 0 è segato dai piani osculatori concorrenti nel fuoco del piano ad esso congiunto.
Considerando la figura che è nel piano w = 0, le rette che uniscono i vertici del triangolo or nominato ai punti di contatto della conica inscritta sono:
| 8) |
w = 0 (y — z = 0, z — x = 0, x — y = 0)
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le quali sono le intersezioni del piano w = 0 coi piani osculatori che concorrono nel suo fuoco. Il punto comune a queste tre rette, ossia il fuoco del piano w = 0, è rappresentato dalle equazioni:
I punti in cui il piano w = 0 sega la cubica sono:
epperò i lati del triangolo da essi formato hanno per equazioni le:
Questo triangolo e il triangolo circoscritto alla conica (7) sono omologici; le rette che congiungono i loro vertici corrispondenti sono le (8), che concorrono nel fuoco del piano
