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78 teoremi sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.


9.º Se prendiamo in considerazione due piani congiunti, essi danno luogo a figure abbastanza interessanti. Per conseguire formole più semplici e simmetriche faccio la seguente trasformazione di coordinate:

x = A,          y = —ω3D,          z = ω3D — 3ω2C + 3ωB — A,

w = 2A — 3ωB — 3ω2C + 2ω3D.


Le equazioni:

w = 0,          x + y + z = 0


rappresentano due piani congiunti; le:

x = 0,          y = 0,          z = 0


rappresentano i piani osculatori concorrenti nel fuoco del piano x + y + z = 0, e le:

3(yz) — w = 0,          3(zx) — w = 0,          3(xy) — w = 0


sono quelle de’ piani osculatori concorrenti nel fuoco del piano w = 0. Ne’ due piani congiunti esistono le due coniche che ho denominate congiunte. Quella che è nel piano w = 0 è rappresentata dalle equazioni:

7)
w = 0,          x2 + y2 + z2 — 2yz — 2zx — 2xy = 0


epperò questa conica è inscritta nel triangolo formato dalle rette secondo cui il piano w = 0 è segato dai piani osculatori concorrenti nel fuoco del piano ad esso congiunto.

Considerando la figura che è nel piano w = 0, le rette che uniscono i vertici del triangolo or nominato ai punti di contatto della conica inscritta sono:

8)
w = 0          (yz = 0,          zx = 0,          xy = 0)


le quali sono le intersezioni del piano w = 0 coi piani osculatori che concorrono nel suo fuoco. Il punto comune a queste tre rette, ossia il fuoco del piano w = 0, è rappresentato dalle equazioni:

w = 0,          x = y = z.


I punti in cui il piano w = 0 sega la cubica sono:

w = 0     (x : y : z = —8 : 1 : 1;     x : y : z = 1 : —8 : 1;     x : y : z = 1 : 1 : —8)


epperò i lati del triangolo da essi formato hanno per equazioni le:

w = 0          (7x + y + z = 0,          x + 7y + z = 0,          x + y + 7z = 0).


Questo triangolo e il triangolo circoscritto alla conica (7) sono omologici; le rette che congiungono i loro vertici corrispondenti sono le (8), che concorrono nel fuoco del piano