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teoremi sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

Le equazioni della retta che unisce i fuochi de’ due piani (1) e (2) sono:

3)	Ap — Bq+ Cr = 0,          Bp — Cq+ Dr = 0

ove:

p = σ² — 3σ₁,          q = σσ₁ — 9σ₂,          r = σ₁² — 3σσ₂.

L’eguaglianza de’ coefficienti nelle due equazioni (3) mostra che la retta da esse rappresentata si appoggia alla cubica in due punti (reali o ideali), i cui parametri i₁, i₂ sono dati dalle:

i₁ + i₂ = ${\frac {q}{p}}$,          i₁i₂ = ${\frac {r}{p}}$,

dunque:

Ogni retta congiungente i fuochi di due piani congiunti è una corda della cubica gobba.

Le equazioni della retta comune ai due piani (1) e (2) sono:

4)	(q2 — pr)A — 3r(Bq — Cr) = 0,          (q2 — pr)D + 3p(Bp — Cq) = 0

la forma delle quali mostra che questa retta è l’intersezione dei piani osculatori della cubica ai punti:

i₁ + i₂ = ${\frac {q}{p}}$,          i₁i₂ = ${\frac {r}{p}}$

dunque:

La retta intersezione di due piani congiunti è anco l’intersezione dei piani osculatori della cubica gobba ai punti ove si appoggia la retta che unisce i fuochi de’ due piani congiunti.

Formando le equazioni delle direttrici dei piani congiunti (1) e (2) si trovano per entrambe le equazioni (4), dunque:

Due piani congiunti hanno la stessa direttrice, la quale è la retta ad essi comune.

Confrontando le equazioni (3) e (4) si riconosce che esse rappresentano rette reciproche; ossia:

La retta che unisce i fuochi di due piani congiunti, e la loro comune direttrice sono rette reciproche; cioè se per ciascun punto dell’una di esse si conducono tre piani osculatori alla cubica, il piano de’ punti di contatto passa costantemente per l’altra.

6.º Cerchiamo se una retta che sia corda della cubica contenga i fuochi di una sola coppia di piani congiunti. Il piano:

B — ωC = 0

è congiunto al piano:

2A — 3ωB — 3ω²C + 2ω³D = 0