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| teoremi sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura. | 71 |
Se da ciascun punto di una retta:
si conducono tre piani osculatori alla curva, il piano de’ punti di contatto passa costantemente per un’altra retta, le cui equazioni sono:
reciprocamente, se per ciascun punto di questa retta si conducono tre piani osculatori alla cubica, il piano de’ punti di contatto passa costantemente per la prima retta.
In generale:
Se da ciascun punto di una superficie geometrica dell’ordine n si conducono tre piani osculatori ad una cubica gobba, il piano de’ punti di contatto inviluppa una superficie geometrica della classe n, e tale che se da ciascun punto di essa si conducono tre piani osculatori alla cubica, il piano de’ punti di contatto inviluppa la prima superficie.
2.º Segue da ciò, che a ciascun punto dello spazio corrisponde un piano, e reciprocamente, in questo senso che il piano contiene i punti di contatto della cubica co’ suoi piani osculatori passanti pel punto. I punti dello spazio formano così una figura correlativa a quella formata dai piani ad essi corrispondenti. Anzi, siccome ciascun punto giace nel piano che gli corrisponde, così l’attuale sistema di figure correlative coincide con quello che il sig. Chasles ha dedotto dalla considerazione di un sistema di forze, o di un corpo in movimento (vedi l’Aperçu historique).
Per brevità, il punto corrispondente ad un dato piano si dirà fuoco del piano; e si diranno reciproche due rette tali che i fuochi dei piani passanti per l’una sono nell’altra. Siano x, y, z le ordinarie coordinate rettilinee di un punto, e suppongasi:
| A = a1x + a2y + a3z B = b1x + b2y + b3z C = c1x + c2y + c3z D = d1x + d2y + d3z + 1 |
ed inoltre si faccia:
a1 = Mx, a2 = My, a3 = Mz
d2a3 — d3a2 + 3(b2c3 — b3c2) = X
d3a1 — d1a3 + 3(b3c1 — b1c3) = Y
d1a2 — d2a1 + 3(b1c2 — b2c1) = Z.
Allora l’equazione del piano il cui fuoco ha le coordinate x0, y0, z0 si può scrivere
