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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

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θ₁, θ₂, θ₃, θ₄ relativamente al punto 18) (per questa denominazione veggasi Salmon, on the higher plane curves, pag. 133).

Ora considero il cono di second’ordine:

A² + l(B — θC)² + mD² + nAD + pA(B — θC) + qD(B — θC) = 0

che ha il vertice al punto 18); questo cono incontra la cubica gobba in sei punti, i parametri de’ quali sono le radici della equazione:

ω² + lω²(ω — θ) + m + nω³ + pω⁴(ω — θ) + qω(ω — θ) = 0.

Siano θ₁, θ₂,... θ₆ queste radici, e Z_r la somma dei prodotti di esse medesime prese ad r ad r; avremo le:

Z₁ = — p, Z₂ = l — pθ, Z₃ = 2lθ — n, Z₄ = q + lθ², Z₅ = qθ, Z₆ = m

da cui eliminando l, m, n, p, q si ha:

θ⁴Z₁ — θ³Z₂ + θZ₄ — Z₅ = 0.

Se in questa equazione si rendono esplicite le quantità θ₅, θ₆, essa prende la forma:

19)	a(θ5 + θ6) — bθ5θ6 + c = 0

ove:

a = θ⁴ — θ³S₁ + θS₃ — S₄,     b = θ³ — θS₂ + S₃,     c = θ⁴S₁ — θ³S₂ + θS₄.

¹⁶ Il piano de’ due punti θ₅, θ₆ e del punto 18) incontra la cubica gobba nel punto il cui parametro è:

${\frac {\theta (\theta _{5}+\theta _{6})-\theta _{5}\theta _{6}}{\theta _{5}+\theta _{6}-\theta }}$

ma in virtù della 19) e della identica:

aθ — bθ² + c = 0

si ha:

${\frac {\theta (\theta _{5}+\theta _{6})-\theta _{5}\theta _{6}}{\theta _{5}+\theta _{6}-\theta }}={\frac {c}{\theta b}}$

dunque il piano anzidetto incontra la cubica gobba nel punto opposto ai punti θ₁, θ₂, θ₃, θ₄, ossia: se un cono di second’ordine incontra una cubica gobba in sei punti, il piano passante per due di questi punti e pel vertice del cono passa anche pel punto opposto agli altri quattro (Salmon, ibid.).

¹⁷

Cremona, giugno 1858.

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