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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

quindi il luogo geometrico di questa retta è una superficie del quart’ordine. Per ciascun punto della cubica gobba passano due generatrici della superficie; infatti considerando le due divisioni omografiche sulla linea, se il punto ω si risguarda come appartenente alla prima, gli corrisponde nell’altra il punto ${\frac {a+b\omega }{c+d\omega }}$, e se lo stesso punto ω si considera come appartenente alla seconda divisione, gli corrisponde nella prima il punto ${\frac {a-c\omega }{d\omega -b}}$; e le due rette congiungenti il punto ω ai punti ${\frac {a+b\omega }{c+d\omega }}$, ${\frac {a-c\omega }{d\omega -b}}$ sono, per la definizione della superficie, generatrici di questa. Ne segue che la cubica gobba è una linea di stringimento¹⁵ per la superficie medesima (55).

31. Abbiansi sulla cubica gobba 2) quattro punti di parametri θ₁, θ₂, θ₃, θ₄, e un punto dello spazio, per es. quello rappresentato dalle equazioni:

18)	A = 0,          D = 0,          B — θC = 0.

Le equazioni delle quattro rette 1, 2, 3, 4 che congiungono quest’ultimo punto ai primi quattro sono:

A : B — θC : D = θ³_r : θ_r (θ_r — θ) : 1 ... (r = 1, 2, 3, 4).

Il piano delle rette 12 è:

(θ₁ + θ₂ — θ) A + θ₁θ₂ (θ₁θ₂ — θ (θ₁ + θ₂)) D
— (θ₁² + θ₁θ₂ + θ₂²) (B — θC) = 0

esso incontra la cubica gobba nel punto il cui parametro è:

$\omega _{1}={\frac {\theta (\theta _{1}+\theta _{2})-\theta _{1}\theta _{2}}{\theta _{1}+\theta _{2}-\theta }};$

così il piano delle rette 34 incontra la cubica gobba nel punto:

$\omega _{2}={\frac {\theta (\theta _{3}+\theta _{4})-\theta _{3}\theta _{4}}{\theta _{3}+\theta _{4}-\theta }}.$

Il piano determinato dai punti ω₁, ω₂ e dal punto 18) incontra la cubica medesima nel punto che ha per parametro:

$x={\frac {\theta (\omega _{1}+\omega _{2})-\omega _{1}\omega _{2}}{\omega _{1}+\omega _{2}-\theta }}={\frac {\theta ^{3}\mathrm {S} _{1}-\theta ^{2}\mathrm {S} _{2}+\mathrm {S} _{4}}{\theta ^{3}-\theta \mathrm {S} _{2}+\mathrm {S} _{3}}}$

ove S_r è la somma de’ prodotti delle θ₁, θ₂, θ₃, θ₄, prese ad r ad r. Questo punto il cui parametro x è una funzione simmetrica de’ parametri θ₁, θ₂, θ₃, θ₄ varia perciò soltanto col variare de’ punti dati; esso punto si chiamerà opposto ai quattro punti