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68 sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

quindi il luogo geometrico di questa retta è una superficie del quart’ordine. Per ciascun punto della cubica gobba passano due generatrici della superficie; infatti considerando le due divisioni omografiche sulla linea, se il punto ω si risguarda come appartenente alla prima, gli corrisponde nell’altra il punto , e se lo stesso punto ω si considera come appartenente alla seconda divisione, gli corrisponde nella prima il punto ; e le due rette congiungenti il punto ω ai punti , sono, per la definizione della superficie, generatrici di questa. Ne segue che la cubica gobba è una linea di stringimento15 per la superficie medesima (55).

31. Abbiansi sulla cubica gobba 2) quattro punti di parametri θ1, θ2, θ3, θ4, e un punto dello spazio, per es. quello rappresentato dalle equazioni:

18)
A = 0,          D = 0,          B — θC = 0.


Le equazioni delle quattro rette 1, 2, 3, 4 che congiungono quest’ultimo punto ai primi quattro sono:

A : B — θC : D = θ3r : θrr — θ) : 1 ... (r = 1, 2, 3, 4).


Il piano delle rette 12 è:

1 + θ2 — θ) A + θ1θ2 (θ1θ2 — θ (θ1 + θ2)) D
— (θ12 + θ1θ2 + θ22) (B — θC) = 0


esso incontra la cubica gobba nel punto il cui parametro è:


così il piano delle rette 34 incontra la cubica gobba nel punto:


Il piano determinato dai punti ω1, ω2 e dal punto 18) incontra la cubica medesima nel punto che ha per parametro:


ove Sr è la somma de’ prodotti delle θ1, θ2, θ3, θ4, prese ad r ad r. Questo punto il cui parametro x è una funzione simmetrica de’ parametri θ1, θ2, θ3, θ4 varia perciò soltanto col variare de’ punti dati; esso punto si chiamerà opposto ai quattro punti